La maestra le dio a cada uno de sus $37$ estudiantes $36$ lápices de diferentes colores. Resultó que cada par de estudiantes recibió exactamente un lápiz del mismo color. Determina el menor número posible de diferentes colores de lápices distribuidos.

Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ cuyos lados $AB$ y $DE$ son paralelos. Cada una de las diagonales $AD, BE, CF$ divide este hexágono en dos cuadriláteros de perímetros iguales. Demuestra que estas tres diagonales se intersecan en un punto.

Para cada tres números reales positivos $x, y, z$, ¿existen cuatro números reales $a, b, c, d$ con la propiedad $ad + bc = x$, $ac + bd = y$, $ab + cd = z$ y uno de los números $a, b, c, d$ es igual a la suma de los otros tres?

La esfera $S$ toca un plano. Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el plano tales que no tres de ellos son colineales. Considere el punto $A'$ tal que $S$ es tangente a las caras del tetraedro $A'BCD$ . Los puntos $B',C',D'$ se definen de manera similar. Demuestra que $A',B',C',D'$ son coplanares y el plano $A'B'C'D'$ toca $S$ .

Tres círculos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ son tangentes a la línea $l$ en los puntos $A,B,C$ ( $B$ se encuentra entre $A,C$ ) y $\omega_2$ es externamente tangente a los otros dos. Sean $X,Y$ los puntos de intersección de $\omega_2$ con la otra tangente externa común de $\omega_1,\omega_3$ . La línea perpendicular a través de $B$ a $l$ se encuentra con $\omega_2$ nuevamente en $Z$ . Demuestra que el círculo con diámetro $AC$ toca $ZX,ZY$ .

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . La línea $CO$ interseca la altura de $A$ en el punto $K$ . Sean $P,M$ los puntos medios de $AK$ , $AC$ respectivamente. Si $PO$ interseca a $BC$ en $Y$ , y la circunferencia del triángulo $BCM$ se encuentra con $AB$ en $X$ , demuestre que $BXOY$ es cíclico.

Tenemos seis círculos por pares que no se intersecan, que el radio de cada uno es al menos uno (ningún círculo se encuentra en el interior de ningún otro círculo). Demuestre que el radio de cualquier círculo que interseca a los seis círculos es al menos uno.

En el triángulo $ABC$ , el incírculo, con centro $I$ , toca los lados $BC$ en el punto $D$ . La línea $DI$ se encuentra con $AC$ en $X$ . La línea tangente de $X$ al incírculo (diferente de $AC$ ) interseca a $AB$ en $Y$ . Si $YI$ y $BC$ se intersecan en el punto $Z$ , demuestre que $AB=BZ$ .

Sean $X,Y$ dos puntos en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $2XY=BC$ ( $X$ está entre $B,Y$ ) . Sea $AA'$ el diámetro de la circunferencia del triángulo $AXY$ . Sea $P$ el punto donde $AX$ se encuentra con la perpendicular de $B$ a $BC$ , y $Q$ el punto donde $AY$ se encuentra con la perpendicular de $C$ a $BC$ . Demuestra que la línea tangente de $A'$ a la circunferencia de $AXY$ pasa por el circuncentro del triángulo $APQ$ .

En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AB=AC$ ) , sea $l$ una línea paralela a $BC$ a través de $A$ . Sea $D$ un punto arbitrario en $l$ . Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares a través de $A$ a $BD,CD$ respectivamente. Suponga que $P,Q$ son las imágenes de $E,F$ en $l$ . Demuestra que $AP+AQ\le AB$