Sea $ n > 1$ un entero. Encuentre todas las secuencias $ a_1, a_2, \ldots a_{n^2 + n}$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[ \text{ (a) } a_i \in \left\{0,1\right\} \text{ para todo } 1 \leq i \leq n^2 + n; \] \[ \text{ (b) } a_{i + 1} + a_{i + 2} + \ldots + a_{i + n} < a_{i + n + 1} + a_{i + n + 2} + \ldots + a_{i + 2n} \text{ para todo } 0 \leq i \leq n^2 - n. \]

Para cada entero $r > 1$, encuentre el entero más pequeño $h(r) > 1$ que tenga la siguiente propiedad: Para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, . . ., h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0, 1 \leq x \leq y$ tales que los números $a + x, a + y, a + x + y$ están contenidos en la misma clase de la partición.

Los números reales positivos $a, b$ son tales que $a^3 + b^3 = 2$. Demuestra que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 2(a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)$.

Hay $2n$ personas ($n \ge 2$) sentadas alrededor de la mesa redonda, y cada persona llega a conocer a sus vecinos y exactamente enfrente de él se sienta una persona que no conoce. Demuestra que las personas pueden reorganizarse de tal manera que cada uno conozca a uno de sus dos vecinos.

Una línea que pasa por el centro $M$ del triángulo equilátero $ABC$ interseca los lados $BC$ y $CA$, respectivamente, en los puntos $D$ y $E$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEM$ y $BDM$ se intersecan, además del punto $M$, también en el punto $P$. Demuestra que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $DEP$ se encuentra en la bisectriz perpendicular del segmento $AB$.

Calcula todos los números reales $r$ con las siguientes propiedades: Si los números reales $a, b, c$ satisfacen la desigualdad $| ax^2 + bx + c | \le 1$ para cada $x \in [ - 1, 1]$, entonces también satisfacen la desigualdad $| cx^2 + bx + a | \le r$ para cada $x \in [- 1, 1]$.

Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con la hipotenusa $AB$. Sea $K$ cualquier punto interior del triángulo $ABC$ y los puntos $L, M$ son simétricos del punto $K$ con respecto a las líneas $BC, AC$ respectivamente. Especifica todos los valores posibles para $S_{ABLM} / S_{ABC}$, donde $S_{XY ... Z}$ indica el área del polígono $XY...Z$.

Para los números naturales $a, b, c$ se cumple que $(a + b + c)^2 | ab (a + b) + bc (b + c) + ca(c + a) + 3abc$. Demuestra que $(a + b + c) |(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ en el que $AB < AC$. El punto $E$ se encuentra en el lado $AC$ del triángulo, con $AB = AE$. El segmento $AD$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, y el punto $S$ es el centro de este arco $BC$ de este círculo al que no pertenece el punto $A$. El punto $F$ es simétrico del punto $D$ con respecto a $S$. Demuestra que las líneas $F E$ y $AC$ son perpendiculares.

Determina el entero positivo más pequeño $A$ con un número impar de dígitos y la propiedad de que tanto $A$ como el número $B$ creado al eliminar el dígito central del número $A$ son divisibles por $2018$.