En el plano, se dan $n$ puntos ( $n>2$ ) . No tres de ellos son colineales. A través de cada dos de ellos se dibuja la línea, y entre los otros puntos dados, se marca el más cercano a esta línea (en cada caso este punto resultó ser único). ¿Cuál es el número máximo posible de puntos marcados para cada $n$ dado?

Dos círculos $\omega_1,\omega_2$ se intersecan en $A,B$ . Una línea arbitraria que pasa por $B$ se encuentra con $\omega_1,\omega_2$ en $C,D$ respectivamente. Los puntos $E,F$ se eligen en $\omega_1,\omega_2$ respectivamente de modo que $CE=CB,\ BD=DF$ . Suponga que $BF$ se encuentra con $\omega_1$ en $P$ , y $BE$ se encuentra con $\omega_2$ en $Q$ . Demuestra que $A,P,Q$ son colineales.

Sean $x, y, z$ números reales cada uno de los cuales su valor absoluto es diferente de $\frac{1}{\sqrt 3}$ tal que $x + y + z = xyz$ . Demuestra que \[\frac{3x - x^3}{1-3x^2} + \frac{3y - y^3}{1-3y^2} + \frac{3z -z^3}{1-3z^2} = \frac{3x - x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y - y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z - z^3}{1-3z^2}\]

Demuestre que si el producto de los números positivos $a,b$ y $c$ es igual a uno, entonces $\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\ge \frac{3}{2}$

Una tangente $l$ al círculo inscrito en un rombo se encuentra con sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que el producto $AE\cdot CF$ es independiente de la elección de $l$.

¿Es posible pintar el plano en $4$ colores de manera que dentro de cualquier círculo estén los puntos de los cuatro colores?

Demuestre que ningún número de la forma $10^{-n}$ , $n\geq 1,$ puede ser representado como la suma de recíprocos de factoriales de diferentes enteros positivos.

El polinomio $ P(t)$ es tal que para todo $ x$ real, \[ P(\sin x) + P(\cos x) = 1. \] ¿Cuál puede ser el grado de este polinomio?

Hay 2000 ciudades en Graphland; algunas de ellas están conectadas por carreteras. Para cada ciudad se cuenta el número de carreteras que salen de ella. Se sabe que hay exactamente dos números iguales entre todos los números obtenidos. ¿Cuáles pueden ser estos números?

¿Se puede colorear el plano en 2000 colores de manera que cualquier círculo no degenerado contenga puntos de los 2000 colores?