Sea $\displaystyle {x_i> 1, \forall i \in \left \{1, 2, 3, \ldots, 2011 \right \}}$ . Demuestra que: $$\displaystyle{\frac{x^2_1}{x_2-1}+\frac{x^2_2}{x_3-1}+\frac{x^2_3}{x_4-1}+\ldots+\frac{x^2_{2010}}{x_{2011}-1}+\frac{x^2_{2011}}{x_1-1}\geq 8044}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determine todos los enteros positivos $a,b$ tal que $a^{2}b^{2}+208=4([a,b]+(a,b))^2$ donde $[a,b]$ - mcm de $a,b$ y $(a,b)$ - mcd de $a,b$ .

Encuentra todos los primos $p,q$ tales que $2p^3-q^2=2(p+q)^2$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $y^2 + xy + 3x = n(x^2 + xy + 3y)$ tiene al menos una solución $(x, y)$ en enteros positivos.

Sean $x, y, z$ números reales positivos. Demuestra que: $\frac{x + 2y}{z + 2x + 3y}+\frac{y + 2z}{x + 2y + 3z}+\frac{z + 2x}{y + 2z + 3x} \le \frac{3}{2}$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que: $\displaystyle\prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$

Se da un entero positivo $c$. La secuencia $\{p_{k}\}$ se construye según la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ no presente entre los números $p_{1}$ , $p_{2}$ , $\dots$ , $p_{k}$ . Demuestre que la secuencia $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita.

Se da un número real $a$. La secuencia $n_{1}< n_{2}< n_{3}< ...$ consta de todos los $n$ enteros positivos tales que $\{na\}< \frac{1}{10}$ . Demuestre que hay como máximo tres números diferentes entre los números $n_{2}-n_{1}$ , $n_{3}-n_{2}$ , $n_{4}-n_{3}$ , $\ldots$ .

Los puntos $D$ y $E$ en el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ son tales que $AD=AE = BC$ . Sea $H$ el punto común de las alturas del triángulo $ABC$ . Se sabe que $AH^{2}=BH^{2}+CH^{2}$ . Demuestre que $H$ se encuentra en el segmento $DE$ .

Encuentre todas las funciones $f(x),$ continuas en todo el eje real, tales que para cada $x$ real \[f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).\]