C5 Sea $k$ un entero positivo. El comité organizador de un torneo de tenis debe programar los partidos para $2k$ jugadores de modo que cada dos jugadores jueguen una vez, cada día se juegue exactamente un partido, y cada jugador llegue al lugar del torneo el día de su primer partido y se vaya el día de su último partido. Por cada día que un jugador está presente en el torneo, el comité tiene que pagar $1$ moneda al hotel. Los organizadores quieren diseñar el programa de modo de minimizar el costo total de las estadías de todos los jugadores. Determine este costo mínimo.

C6 Sean $a$ y $b$ enteros positivos distintos. El siguiente proceso infinito tiene lugar sobre un tablero inicialmente vacío. Si hay al menos un par de números iguales en el tablero, elegimos tal par y aumentamos uno de sus componentes en $a$ y el otro en $b$ . Si no existe tal par, escribimos dos veces el número $0$ . Demuestre que, sin importar cómo hagamos las elecciones en $(i)$ , la operación $(ii)$ se realizará solo un número finito de veces. Propuesto por Serbia .

C7 Considere $2018$ círculos que se cruzan por pares, sin tres de ellos concurrentes. Estos círculos subdividen el plano en regiones acotadas por $edges$ circulares que se encuentran en $vertices$ . Observe que hay un número par de vértices en cada círculo. Dado el círculo, coloree alternadamente los vértices de ese círculo de rojo y azul. Al hacer esto para cada círculo, cada vértice es coloreado dos veces: una vez por cada uno de los dos círculos que se cruzan en ese punto. Si los dos colores coinciden en un vértice, entonces se le asigna ese color; en caso contrario, se vuelve amarillo. Muestre que, si algún círculo contiene al menos $2061$ puntos amarillos, entonces los vértices de alguna región son todos amarillos. Propuesto por India

G1 Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $AD = AE$ . Las mediatrices de $BD$ y $CE$ intersecan los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$ respectivamente. Demuestre que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas o son la misma recta. Propuesto por Silouanos Brazitikos, Evangelos Psychas y Michael Sarantis, Grecia

G2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $P$ un punto tal que $PB<PC$ y $PA$ es paralela a $BC$ . Sean $X$ e $Y$ puntos en las rectas $PB$ y $PC$ , respectivamente, de modo que $B$ está en el segmento $PX$ , $C$ está en el segmento $PY$ , y $\angle PXM=\angle PYM$ . Demuestre que el cuadrilátero $APXY$ es cíclico.

Sean $A{}$ y $B{}$ matrices $3\times 3{}$ con entradas complejas, que satisfacen $A^2=B^2=O_3$ . Demuestre que si $A{}$ y $B{}$ conmutan, entonces $AB=O_3$ . ¿Es cierto el recíproco?

A4 Sea $V$ un subespacio de dimensión finita del espacio vectorial real de las funciones $C^\infty$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ . Suponga que para todas las funciones $g(x) \in V$ se tiene $g(2x) \in V$ . Demuestre que toda función en $V$ es un polinomio. (Una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ es $C^\infty$ si su $k$ - ésima derivada existe en todo punto, para todos los enteros positivos $k$ . )

4 Una sucesión de enteros $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ se define como sigue: $ a_{1} = 1$ y, para $ n\geq 1$ , $ a_{n + 1}$ es el menor entero mayor que $ a_{n}$ tal que $ a_{i} + a_{j}\neq 3a_{k}$ para cualesquiera $ i,j$ y $ k$ en $ \{1,2,3,\ldots ,n + 1\}$ , no necesariamente distintos. Determine $ a_{1998}$ .

G3 Se da un círculo $\omega$ con radio $1$ . Una colección $T$ de triángulos se llama buena , si se cumplen las siguientes condiciones: cada triángulo de $T$ está inscrito en $\omega$ ; no hay dos triángulos de $T$ que tengan un punto interior común. Determine todos los números reales positivos $t$ tales que, para cada entero positivo $n$ , exista una buena colección de $n$ triángulos, cada uno de perímetro mayor que $t$ .

1 Determina todas las soluciones enteras no negativas \( (n_{1},n_{2},\dots , n_{14}) \), si las hay, salvo permutaciones, de la ecuación diofántica \[n_{1}^{4}+n_{2}^{4}+\cdots+n_{14}^{4}=1,599.\]