N5 Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?

N6 Sea $f : \{ 1, 2, 3, \dots \} \to \{ 2, 3, \dots \}$ una función tal que $f(m + n) | f(m) + f(n) $ para todos los pares $m,n$ de enteros positivos. Demuestre que existe un entero positivo $c > 1$ que divide todos los valores de $f$ .

N7 Sea $n \ge 2018$ un entero, y sean $a_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n$ enteros positivos distintos por pares que no exceden $5n$ . Suponga que la sucesión \[ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \dots, \frac{a_n}{b_n} \] forma una progresión aritmética. Demuestre que los términos de la sucesión son iguales.

1 Halle todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] es un divisor de $abc-1.$

2 Sea $\,{\mathbb{R}}\,$ el conjunto de todos los números reales. Halle todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\,$ tales que \[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{for all}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

3 Considere $9$ puntos en el espacio, sin cuatro de ellos coplanares. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de recta) y cada arista está coloreada de azul o de rojo o queda sin colorear. Halle el menor valor de $\,n\,$ tal que, siempre que exactamente $\,n\,$ aristas estén coloreadas, el conjunto de aristas coloreadas contenga necesariamente un triángulo todas cuyas aristas tengan el mismo color.

1 En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular.

2 En una sucesión finita de números reales la suma de cualesquiera siete términos sucesivos es negativa y la suma de cualesquiera once términos sucesivos es positiva. Determine el número máximo de términos de la sucesión.

3 Sea $n$ un número dado mayor que 2. Consideramos el conjunto $V_n$ de todos los enteros de la forma $1 + kn$ con $k = 1, 2, \ldots$ Un número $m$ de $V_n$ se llama indescomponible en $V_n$ si no hay dos números $p$ y $q$ de $V_n$ tales que $m = pq.$ Demuestre que existe un número $r \in V_n$ que puede expresarse como el producto de elementos indescomponibles en $V_n$ de más de una manera. (Las expresiones que difieren solo en el orden de los elementos de $V_n$ se considerarán iguales.)

29 Sean $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ triángulos acutángulos. Describa y demuestre cómo construir el triángulo $ABC$ con la mayor área posible que está circunscrito a $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contiene a $B_0, CA$ contiene a $B_0$ , y $AB$ contiene a $C_0$ ) y es semejante a $A_1B_1C_1.$