A4 Sea $a_0,a_1,a_2,\dots $ una sucesión de números reales tal que $a_0=0, a_1=1,$ y para todo $n\geq 2$ existe $1 \leq k \leq n$ que satisface \[ a_n=\frac{a_{n-1}+\dots + a_{n-k}}{k}. \] Halle el máximo valor posible de $a_{2018}-a_{2017}$ .

A5 Determine todas las funciones $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$\left(x+\frac{1}{x}\right)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{y}{x}\right)$$ para todo $x,y>0$ .

A6 Sean $m,n\geq 2$ enteros. Sea $f(x_1,\dots, x_n)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $$f(x_1,\dots, x_n)=\left\lfloor \frac{x_1+\dots + x_n}{m} \right\rfloor\text{ for every } x_1,\dots, x_n\in \{0,1,\dots, m-1\}.$$ Demuestre que el grado total de $f$ es al menos $n$ .

3 Dado un entero positivo $ m \geq 17$ , $ 2m$ participantes compiten en un torneo circular. En cada ronda, dividimos los $ 2m$ participantes en $ m$ grupos, y los dos participantes de un mismo grupo juegan entre sí. Los grupos se redividen en la ronda siguiente. Los participantes compiten durante $ 2m-1$ rondas de modo que cada participante ha jugado una partida con todos los otros $ 2m-1$ jugadores. Halle el menor entero positivo $ n$ posible tal que existe una competición válida y, después de $ n$ rondas, para cualesquiera $ 4$ participantes, ninguno de ellos ha jugado con los demás o se han jugado al menos $ 2$ partidas entre esos $ 4$ .

A7 Halle el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\] donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d = 100$ . Propuesto por Evan Chen, Taiwán

C1 Sea $n\geqslant 3$ un entero. Demuestre que existe un conjunto $S$ de $2n$ enteros positivos que satisface la siguiente propiedad: Para todo $m=2,3,...,n$ el conjunto $S$ puede particionarse en dos subconjuntos con sumas de elementos iguales, con uno de los subconjuntos de cardinalidad $m$ .

C2 Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ del plano tal que $x$ e $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales que 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan colocando piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre cualesquiera dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Se permite que un sitio ocupado por una piedra azul esté a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado.) Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Halle el mayor $K$ tal que Amy puede asegurar que coloca al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia

C3 Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una sucesión de turnos sobre un tablero que consiste de $n + 1$ casillas en una fila, numeradas $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, $n$ piedras se colocan en la casilla $0$ , y las demás casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve hacia la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover todas las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestre que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es usual, $\lceil x \rceil$ denota el menor entero no menor que $x$ . )

2 Halle todos los pares de enteros $ (a,b)$ que satisfacen $ ab(a - b)\not = 0$ tales que existe un subconjunto $ Z_{0}$ del conjunto de enteros $ Z,$ tal que, para cualquier entero $ n$ , exactamente uno de los tres enteros $ n,n + a,n + b$ pertenece a $ Z_{0}$ . Fang-jh

Sea $\delta_0=\triangle A_0B_0C_0$ un triángulo. Sobre cada uno de los lados $B_0C_0$ , $C_0A_0$ , $A_0B_0$ se construyen cuadrados en el semiplano que no contiene al vértice respectivo $A_0,B_0,C_0$ , y $A_1,B_1,C_1$ son los centros de los cuadrados construidos. Si usamos el triángulo $\delta_1=\triangle A_1B_1C_1$ de la misma manera, podemos construir el triángulo $\delta_2=\triangle A_2B_2C_2$ ; a partir de $\delta_2=\triangle A_2B_2C_2$ podemos construir $\delta_3=\triangle A_3B_3C_3$ , y así sucesivamente. Demuestre que: (a) los segmentos $A_0A_1,B_0B_1,C_0C_1$ son respectivamente iguales y perpendiculares a $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$ ; (b) los vértices $A_1,B_1,C_1$ del triángulo $\delta_1$ se encuentran respectivamente sobre los segmentos $A_0A_3,B_0B_3,C_0C_3$ (definidos por los vértices de $\delta_0$ y $\delta_1$ ) y los dividen en la razón $2:1$ . K. Dochev