Para cada entero $k\geq 2$ determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1,a_2,\ldots$ para las culaes existe un polinomio $P$ de la forma $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ con $c_0,\ldots, c_{k-1}$ enteros no negativos tales que $$P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots, a_{n+k}$$ Para todo entero $n\geq 1$.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$. Sea $\Omega$ el circuncirculo de ABC. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular a $A$ por $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea $\omega$ el circuncirculo del triangulo $BDL$. Las circunferencias $\omega$ y $\Omega$ se cortan de nuevo en $P\neq B$. \nDemuestra que la recta tangente a $\omega$ en $P$, $BS$ y la bisectriz interna de $\angle BAC$ concurren.

Determina todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $1=d_1<d_2,\ldots<d_k=n$ son sus divisores positivos, entonces $$d_i\mid d_{i+1}+d_{i+2}$$ para cada $1\leq i\leq k-2$.

Sean $a,b,c$ reales que forman lados de un triangulo. Demuestra que $$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}.$$

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ demuestra que se cumple la siguiente desigualdad $$\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(a+2b+c)^2}+\frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq\frac{3}{16} .$$

Sea $ABC$ un triangulo con circunferencia circunscrita $\Omega$. Se denota por $S_b$ y $S_c$ los puntos medios de los arcos $AC$ y $AB$ que no contienen el tercer vertice del triangulo, respectivamente. Sea $N_a$ el punto medio del arco $BAC$. Sea $I$ el incentro de $ABC$. Sea $\omega_b$ el circulo tangente a $AB$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_b$, y sea $\omega_c$ el circulo tangente a $AC$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_c$. Demuestra que la recta $IN_a$ y la recta que pasa por las intersecciones de $\omega_b$ y $\omega_c$ se intersectan en $\Omega$.

Sea $s\geq 2$ un entero positivo. Para cada entero positivo $k$ se definie su $torcimiento$ $k'$ como sigue: si $k=as+b$ con $a,b$ enteros no negativos y $b<s$ entonces $k'=bs+a$. Sea $n$ un entero positivo, consideremos la sucecion infinita $d_1,d_2,\ldots$ con $d_1=n$ y donde $d_{i+1}$ es el torcimiento de $d_i$ para toda $i$. Demuestra que esta sucesion contiene al $1$ si y solo si el residuo de la division de $n$ por $s^2-1$ es $1$ o $s$.

El caracolito Turbo esta sobre un punto de una circunferencia de longitud $1$. Sea $c_1,c_2,c_3,\ldots$ una ducesion de numeros reales positivos. Turbo se arrastra sucesivamente distancias de $c_1,c_2,\ldots$ sobre la circunferencia, eligiendo cada vez el sentido: horario o antihorario. Por ejemplo, si la sucesion es $0.4,0.6,0.3,\ldots$ entonces Turbo pudo haber elegido moverse como en Fig1. Determina la mayor constante $C>0$ con la siguiente propiedad: para toda sucesion de numeros reales positivos $c_1,c_2,\ldots$ tales que $c_i<C$ para toda $i$, Turbo puede asegurar (tras haber estudiado la sucesion) que hay un punto de la circunferencia al que nuna llegara ni por el que se arrastrara.

Sea $k$ un entero positivo. Alexa tiene un disccionario $\mathcal{D}$ que contiene algunas palabras de $k$ letras formadas solo con las letras $A$ y $B$. En cada casilla de un tablero de $k\times k$, Alexa quiere escribir solo la letra $A$ o $B$ de manera que cada columna contenga una palabra de $\mathcal{D}$ cuando es leida de arriba a abajo y cada fila cuando es leida de izquierda a derecha. ¿Cual es el menor entero $m$ tal que si $\mathcal{D}$ tiene por lo menos $m$ palabras diferentes, entonces Alexa siempre puede llenar su tablero de esta manera?