Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$, $b_1,b_2,\ldots, b_n$, $\cdots$, $z_1,z_2,\cdots, z_n$ $m$ secuencias de reales positivos. Y sean $\lambda_a, \lambda_b,\ldots, \lambda_z$ $m$ reales positivos tales que $\lambda_a+\lambda_b+\cdots+\lambda_z=1$. Entonces tenemos\n$$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{\lambda_a}(b_1+b_2+\cdots+b_n)^{\lambda_a}\cdots (z_1+z_2+\cdots+z_n)^{\lambda_z}\geq \sum_{i=1}^n a_i^{\lambda_a}b_i^{\lambda_b}\cdots z_i^{\lambda_z}$$\nLa igualdad se da cuando $$a_1:a_2:\cdots:a_n\equiv b_1:b_2:\cdots:b_n\equiv \cdots \equiv z_1:z_2:\cdots:z_n$$

Sean $x_1,x_2,\cdots x_n$ y $y_1,y_2,\cdots, y_n$ secuencias de reales positivos. Entonces tenemos $$\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{y_n}\geq \frac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2}{y_1+y_2+\cdots+y_n}$$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ secuencias de reales positivos. Entonces $$(a_1+\cdots +a_n)(b_1+\cdots+b_n)\geq (\sqrt{a_1b_1}+\sqrt{a_2b_2}+\cdots +\sqrt{a_nb_n})^2$$\nLa igualdad se tiene si y solo si $$a_1:a_2:\cdots:a_n\equiv b_1:b_2:\cdots:b_n.$$

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y ademas fijemos $a_1+a_2+\cdots +a_n$. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una function con exactamente un punto de inflexion ($f''(x)=0$). Si $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)$$ tiene un punto maximo o minimo entonces $n-1$ de las $a_i's$ son iguales entre si.

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y $a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$, en ocasiones aun si una funcion $f$ no es convexa la desigualdad $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ se cumple y puede ser relativamente sencilla de probar. \nUn ejemplo es el siguiente. emuestra que $$\sum_{cyc} \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}.$$\nComo la desigualdad es homogenea podemos asumir s.p.g. $a+b+c=3$. Reescribimos la desigualdad como $$\sum_{cyc} \frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}$$ y con $f(x)=\frac{(3-2x)^2}{x^2+(3-x)^2}$ tenemos que $f'(x)=\frac{-18(3-2x)}{(2x^2-6x+9)^2}$ entonces $f(1)=\frac{1}{5}$, $f'(1)=\frac{18}{25}$ y finalmente vemos que $$f(a)=\frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{1}{5}-\frac{18}{25}(a-1)=f(1)-f'(1)(a-1)$$ $$\iff \frac{18}{25}(a-1)^2\frac{2a+1}{2a^2-6a+9}\geq 0$$\nY sumando las desigualdades para $a,b,c$ tenemos la desigualdad que queriamos.

Si $f$ es una funcion convexa, y $(x_n)$ mayoriza a $(y_n)$ entonces $$f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+f(y_2)+\cdots+f(y_n).$$ Si $f$ es concava entonces la desigualdad opuesta se da.

Si $f$ es una funcion convexa, entonces tenemos\n$$\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}\geq f(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}).$$\nSi $f$ es concava entonces la desigualdad opuesta se da.

Sea $f: (a,b)\to \mathbb{R}$ una funcion. Decimos que $f$ es ${\bf convexa}$ en $(a,b)$ si se cumple que para todo $x,y\in (a,b)$ y $0\leq t\leq 1$ tenemos \n$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$$\nY es ${\bf concava}$ cuando la deigualdad opuesta se da. Por esto $f$ es convexa si y solo si $-f$ es concava.\nCuando $f$ es dos veces diferenciable una manera equivalente a saber si es convexa es si $f''(x)\geq 0$ para todo $x$. Y es concava cuando $f''(x)\leq 0$.