Un entero $n\geq 2$ se dice tuanis si al sumar el menor divisor primo de $n$ y el mayor divisor primo de $n$ (pueden ser iguales), se obtiene un numero impar. Calcula la suma de todos los numeros tuanis menores o iguales a 2023.

En un estanque se encuentran $n\geq 3$ piedras puestas en una circunferencia. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los numeros $1,2,\ldots, n$ en algun orden y despues colocar sapos sobre las piedras. Una vez que todos los sapos esten colocados, empiezan a saltar en el sentido de las manecillas del relojm de acuerdo a la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada $k$, espera $k$ minutos y luego salta a la siguiente piedra. Si en ningun momento pueden dos sapos ocupar la misma piedra, Cual es la mayor cantidad de sapos para los cuales la princesa puede etiquetar las piedras antes de colocar los sapos?

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A,B$ y $C$. Sean $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $D$. Sean $P$, $Q$ y $R$ ;as intersecciones de $BC$ con $\ell$, de $AP$ con $\Gamma$ tal que $Q\neq A$ y de $QD$ con la altura del triangulo $ABC$ por $A$, respectivamente. Se definen el punto $S$ como la interseccion de $AB$ con $\ell$ y $T$ como la interseccion de $AC$ con $\ell$. Demuestra que $S$ y $T$ pertenecen a la circunferencia que pasa por $A,Q$ y $R$.

Un numero de cuatro cifras $n=\overline{abcd}$, donde $a,b,c$ y $d$ son digitos con $a\neq 0$ se denomina guanaco si el producto $\overline{ab}\times \overline{cd}$ es un divisor de $n$. Encuentra todos los numeros guanacos que existen.

Sean $a,b,c$ numeros reales positivos tales que $ab+bc+ca=1$. Demuestra que $$\frac{a^3}{a^2+3b^2+3ab+2bc}+\frac{b^3}{b^2+3c^2+3bc+2ca}+\frac{c^3}{c^2+3a^2+3ca+2ab}> \frac{1}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Octavio escribe un entero $n\geq 1$ en un pizarron y luego inicia un proceso en el que en cada paso borra el numero $k$ escrito en el pizarron y lo reemplaza por uno de los siguientes numeros, siempre y cuando sean enteros: $$3k-1,\quad 2k+1,\quad \frac{k}{2}$$ Demuestra que para todo entero $n\geq 1$, Octavio puede llegar a escribir en el pizarron el numero $3^{2023}$ luego de una cantidad finita de pasos.

Una coloracion del conjunto de los enteros mayores o iguales que $1$, debe hacerse con la siguiente regla: cada numero se colorea de azul o rojo, de manera que la suma de cualesquiera dos numeros (no necesariamente distintos) del mismo color, sea azul. Determina todas las coloraciones posibles del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$, que sigan esta regla.

Sea $ABC$ un triangulo equilatero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$, $CB_1=B_1A$, $AC_1=C_1B$ y $$\angle BA_1C=\angle CB_1A=\angle AC_1B=480^\circ.$$ Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, $CA_1$ y $AC_1$ en $B_2$ y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ en $C_2$. \nDemuestra que si el triangulo $A_1B_1C_1$ es escaleno entonces los tres circuncirculos de los triangulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan por dos puntos comunes.

Sea $n$ un entero positivo. Un triangulo japones consiste en $1+2+\cdots+n$ circulos iguales acomodados en forma de triangulo equilatero de forma que para cada $i=1,2,\ldots, n$ la fila numero $i$ contiene $i$ circulos, de los cuales exactamente $1$ de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triangulo japones es una sucesion de $n$ circulos que comienza con el circulo de la fila superior y termina en la fila inferior, pasando sucesivamente de un circulo a uno de los dos circulos inmediatamente debajo a el.\nEn la figuro se muestra un ejemplo de un triangulo japones con $n=6$ y un camino ninja con dos circulos rojos.\nEn terminos de $n$ determina el mayor $k$ tal que cada triangulo japones tiene un camino ninja que contiene al menos $k$ circulos rojos.

Sean $x_1,x_2,\ldots, x_{2023}$ numeros reales positivos, todos distintos entre si, tales que $$a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n})}$$ es entero para todo $n=1.2.\ldots, 2023$. \nDemuestra que $a_{2023}\geq 3034$.