Sea $k \geq 2$ un entero. Encuentra el entero más pequeño $n \geq k + 1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos pueda escribirse como la suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales positivos con la propiedad de que $$a_{n+1}^2 + a_n a_{n+2} \leq a_{n} + a_{n+2}$$\npara todos los enteros positivos $n$. Demuestra que $a_{2022} \leq 1$.

Para un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, definimos $P^1(x) = P(x)$ y $P^{k+1}(x) = P(P^k(x))$ para $k \geq 1$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tal que para todo entero $m \geq 1$, los números $P^m(1), P^{m}(2), \ldots, P^{m}(n)$ dejan exactamente $\lceil\frac{n}{2^m}\rceil$ residuos distintos al ser divididos por $n$.

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos tal que $a_{n+2m}$ divide a $a_n + a_{n+m}$ para todos los enteros positivos $n$ y $m$. Demuestra que esta secuencia eventualmente es periódica, es decir, existen enteros positivos $N$ y $d$ tales que $a_n = a_{n+d}$ para todo $n \geq N$.

Determina todos los enteros $n \geq 2$ con la siguiente propiedad: para cualesquiera $n$ enteros distintos cuya suma no es divisible por $n$, se pueden ordenar como $a_1,a_2,\ldots, a_n$ de manera que $$n \mid 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \ldots + n \cdot a_n.$$

Demuestra que solo hay finitas cuartetas $(a, b, c, n)$ de enteros positivos tal que $$n! = a^ {n - 1} + b^{ n - 1} + c^{n - 1}.$$

Alicia tiene un número racional $r > 1$ y una línea con dos puntos $B \neq R$, donde el punto $R$ contiene una ficha roja y el punto $B$ contiene una ficha azul. Alicia juega un juego de solitario realizando una secuencia de movimientos. En cada movimiento, elige un entero (no necesariamente positivo) $k$ y una ficha para mover. Si esa ficha esta en el punto $X$ y la otra ficha esta en $Y$, entonces Alicia mueve la cuenta elegida al punto $X'$ tal que $\overrightarrow{YX'}= r^k \overrightarrow{YX} $. El objetivo de Alicia es mover la ficha roja al punto $B$. Encuentra todos los números racionales $r > 1$ para los cuales Alicia puede alcanzar su objetivo en un máximo de $2021$ movimientos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ tal que para cada $i = 1, 2, \ldots, k$, el número $d_1 + d_2 + \ldots + d_i$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n \geq 100$ un número entero. Los números $n, n + 1, \ldots, 2n$ están escritos en $n + 1$ cartas, un número por carta. Las cartas se mezclan y se dividen en dos pilas. Demuestra que una de las pilas contiene dos cartas tal que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Determina todos los enteros $n \geq 1$ para los cuales existe un par de enteros positivos $(a, b)$ tal que ningún cubo de un primo divide a $a^2 + b + 3$ y $$\frac{ab + 3b +8 }{ a^2+b+3 } = n.$$