2 Llamamos a la aplicación $ \Delta:\mathbb Z\backslash\{0\}\longrightarrow\mathbb N$ una aplicación de grado si y solo si para cada $ a,b\in\mathbb Z$ tal que $ b\neq0$ y $ b\not|a$ existen enteros $ r,s$ tales que $ a = br+s$ , y $ \Delta(s) <\Delta(b)$ . a) Demuestre que la siguiente aplicación es una aplicación de grado: \[ \delta(n)=\mbox{Número de dígitos en la representación binaria de }n\] b) Demuestre que existe una aplicación de grado $ \Delta_{0}$ tal que para cada aplicación de grado $ \Delta$ y para cada $ n\neq0$ , $ \Delta_{0}(n)\leq\Delta(n)$ . c) Demuestre que $ \delta =\Delta_{0}$

2016.6 En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se toma el punto $M$ tal que $\measuredangle BMC=\measuredangle AMD$. Sobre los lados $AB$ y $CD$, se construyen externamente los triángulos $ABE$ y $CDF$ tales que \[\measuredangle BAE=\measuredangle DAM, \measuredangle ABE =\measuredangle CBM, \measuredangle CDF=\measuredangle ADM, \measuredangle DCF=\measuredangle BCM\] . Demuestre que los puntos $M$, $E$ y $F$ son colineales.

1 Defina una sucesión $(a_n)$ mediante $a_0 =-4 , a_1 =-7$ y $a_{n+2}= 5a_{n+1} -6a_n$ para $n\geq 0.$ Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $a_n$ es compuesto.

5 Encuentre todos los pares $(b,c)$ de enteros positivos tales que la sucesión definida por $a_1=b$, $a_2=c$ y $a_{n+2}= \left| 3a_{n+1}-2a_n \right|$ para $n \geq 1$ tenga solo un número finito de términos compuestos. Propuesto por Oleg Mushkarov y Nikolai Nikolov

10 Higher Secondary P10 Sea $X$ un conjunto de $n$ elementos. $P_m(X)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $m$ elementos (es decir, subconjuntos que contienen exactamente $m$ elementos) de $X$. Suponga que $P_m(X)$ tiene $k$ elementos. Demuestre que los elementos de $P_m(X)$ pueden ordenarse en una sucesión $A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_k$ tal que satisfaga las dos condiciones siguientes: (A) cada elemento de $P_m(X)$ aparece exactamente una vez en la sucesión, (B) para todo $i$ tal que $0 < i < k$, el tamaño del conjunto $A_i \cap A_{i+1}$ es $m-1$.

8 Los polinomios $k_n(x_1, \ldots, x_n)$, donde $n$ es un entero no negativo, satisfacen las siguientes condiciones: \[k_0=1\] \[k_1(x_1)=x_1\] \[k_n(x_1, \ldots, x_n) = x_nk_{n-1}(x_1, \ldots , x_{n-1}) + (x_n^2+x_{n-1}^2)k_{n-2}(x_1,\ldots,x_{n-2})\] Demuestre que para cada $n$ no negativo se tiene $k_n(x_1,\ldots,x_n)=k_n(x_n,\ldots,x_1)$.

11 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La bisectriz del $\angle ACB$ corta al lado $AB$ en $D$. El circuncírculo del triángulo $ADC$ corta al lado $BC$ en $C$ y $E$ con $C \neq E$. La recta paralela a $AE$ que pasa por $B$ corta a la recta $CD$ en $F$. Demuestre que el triángulo $\triangle AFB$ es isósceles.

4 No soy un spammer, al menos, así es como me gusta pensar de mí mismo, y por lo tanto no abriré un nuevo hilo para el siguiente problema del examen DeMO de hoy: Sea $Q(n)$ la suma de los dígitos de un entero positivo $n$. Demuestre que $Q\left(Q\left(Q\left(2005^{2005}\right)\right)\right)=7$. [ EDICIÓN: Dado que esta publicación fue separada en un nuevo hilo, comento: El problema es completamente análogo al problema publicado en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=31409, con la única diferencia de que se debe considerar el número $2005^{2005}$ en lugar de $4444^{4444}$. ] Darij darij

17 En el triángulo $ABC$, $AD$ y $AH$ son la bisectriz y la altura del vértice $A$, respectivamente. La mediatriz de $AD$ corta a los semicírculos con diámetros $AB$ y $AC$, los cuales están trazados fuera del triángulo $ABC$, en $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $XYDH$ es cíclico. Propuesto por Mahan Malihi Ali.Kh

2012.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle DAC=\angle DCA=\angle ABC$. Sea una recta trazada a través del vértice $D$ y paralela a $AC$ que interseca en los puntos $E$ y $F$, correspondientes a las rectas $BA$ y $BC$. Demuestre que si $CE\cap AF=U$, entonces los cuadriláteros formados por las proyecciones de los lados del cuadrilátero $ABCD$ en el punto $U$ son trapecios isósceles.