2008.4 Dado un paralelogramo $ABCD$ y un punto $M_0$ en el plano. Utilizando la rotación $$R_{A}^{90^\circ}(M_0)=M_1,\quad R_{B}^{90^\circ}(M_1)=M_2,\quad R_{C}^{90^\circ}(M_2)=M_3,\quad R_{D}^{90^\circ}(M_3)=M_4,\ldots$$ y así sucesivamente, determine la sucesión de puntos $\{M_1,M_2,\ldots\}$. Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado si $M_0=M_{2008}$.

Sea $I$ el incentro del triángulo rectángulo $\Delta ABC$ con $\angle A = 90^\circ$ y sea $M$ el punto medio de $(BC)$. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al circuncírculo del $\Delta ABC$ en el punto $W$. El punto $U$ está situado sobre la recta $AB$ tal que las rectas $AB$ y $WU$ son perpendiculares. El punto $P$ está situado sobre la recta $WU$ tal que las rectas $PI$ y $WU$ son perpendiculares. Demuestre que la recta $MP$ biseca al segmento $CI$.

12 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en el círculo $\omega$. Sean $I_{1},I_{2}$ y $r_{1},r_{2}$ los incentros y los radios de los incírculos de los triángulos $ACD$ y $ABC$, respectivamente. Suponga que $r_{1}=r_{2}$. Sea $\omega'$ un círculo que es tangente a $AB, AD$ y que es tangente a $\omega$ en $T$. Las tangentes desde $A$ y $T$ a $\omega$ se cortan en el punto $K$. Demuestre que $I_{1},I_{2},K$ están alineados.

7 Suponga que $F$ es un polígono con vértices en una red y lados paralelos a los ejes x e y. Suponga que $S(F)$ y $P(F)$ son el área y el perímetro de $F$, respectivamente. Encuentre el valor más pequeño de $k$ tal que: $S(F) \leq k \cdot P(F)^2$. Omid

1 Resuelva el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x^3 + y^3= 7 \\ xy (x + y) = -2\end{cases}$$

2009.5 Se trazan las bisectrices $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ del triángulo $ABC$. Sea $AA_1\cap B_1C_1=X$ y sea $Y$ el pie de la perpendicular trazada desde $X$ a $BC$. Sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de $\measuredangle BC_1Y$ y $\measuredangle CB_1Y$. Entonces, demuestre que los puntos $A$, $Y$ y $Z$ se encuentran sobre la misma recta.

11 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La bisectriz del $\angle ACB$ corta al lado $AB$ en $D$. El circuncírculo del triángulo $ADC$ corta al lado $BC$ en $C$ y $E$ con $C \neq E$. La recta paralela a $AE$ que pasa por $B$ corta a la recta $CD$ en $F$. Demuestre que el triángulo $\triangle AFB$ es isósceles.

2006.5 El incírculo del $\triangle{ABC}$ es tangente a los lados $BC, AC, AB$ en $P, Q, R$ respectivamente. $AA_{0}$, $BB_{0}$ y $CC_{0}$ son perpendiculares a $BC$, $AC$ y $AB$. Y $P_{0}, Q_{0}, R_{0}$ son los puntos medios de $AA_{0}$, $BB_{0}$ y $CC_{0}$ respectivamente. Demuestre que $PP_{0}, QQ_{0}, RR_{0}$ son concurrentes.

6 Unos científicos han logrado encontrar nuevos números entre los números reales utilizando microscopios potentes. Ahora, los números reales se han extendido a un nuevo sistema más grande en el que tenemos un orden (el cual induce el orden normal en $ \mathbb R$ ), así como 4 operaciones: suma, multiplicación, etc., y estas operaciones poseen todas las propiedades de $ \mathbb R$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/2593fa57e5f86a443c4e208aaa98236869fa9c70.png a) Demuestre que en este sistema más grande existe un número que es menor que todo entero positivo y mayor que cero. b) Demuestre que ninguno de estos números es raíz de un polinomio en $ \mathbb R[x]$ . Omid

6 ¿Existe un círculo que pase por cinco puntos con coordenadas enteras?