9 Para cualesquiera $a_1, a_2, ..., a_n$ positivos, demuestre que se cumple $\frac{a_1}{a_2 + a_3} + \frac{a_2}{a_3 + a_4} + ... + \frac{a_n}{a_1 + a_2} > \frac{n}{4}$.

7 Un grafo se denomina grafo autointersecante si es isomorfo a un grafo cuyas aristas son todas segmentos y cada par de aristas se interseca. Note que ninguna arista contiene un vértice excepto sus dos extremos. a) Encuentre todos los $ n$ para los cuales el ciclo de longitud $ n$ es autointersecante. b) Demuestre que en un grafo autointersecante $|E(G)|\leq|V(G)|$. c) Encuentre todos los grafos autointersecantes.

2020.1.1 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $T$ su baricentro. Sea $D$ el punto medio del lado $BC$. Sea $E \ne D$ el punto de intersección de un círculo con centro en $T$ y radio $TD$ con la recta $BC$, y sea $F \ne D$ un punto de intersección de este círculo con la recta $AD$. Sea $X$ un punto tal que $FTEX$ es un paralelogramo. Demuestre que las rectas $AX$ y $BC$ son perpendiculares.

11 Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto exterior en el plano del triángulo. Suponga que las rectas $AP$, $BP$, $CP$ cortan a los lados $BC$, $CA$, $AB$ (o a sus extensiones) en $D$, $E$, $F$, respectivamente. Suponga además que las áreas de los triángulos $PBD$, $PCE$, $PAF$ son todas iguales. Demuestre que cada una de estas áreas es igual al área del propio triángulo $ABC$.

2 Llamamos a la aplicación $ \Delta:\mathbb Z\backslash\{0\}\longrightarrow\mathbb N$ una aplicación de grado si y solo si para cada $ a,b\in\mathbb Z$ tal que $ b\neq0$ y $ b\not|a$ existen enteros $ r,s$ tales que $ a = br+s$ , y $ \Delta(s) <\Delta(b)$ . a) Demuestre que la siguiente aplicación es una aplicación de grado: \[ \delta(n)=\mbox{Número de dígitos en la representación binaria de }n\] b) Demuestre que existe una aplicación de grado $ \Delta_{0}$ tal que para cada aplicación de grado $ \Delta$ y para cada $ n\neq0$ , $ \Delta_{0}(n)\leq\Delta(n)$ . c) Demuestre que $ \delta =\Delta_{0}$

6 La esfera inscrita y la esfera exinscrita opuesta al vértice $D$ de un tetraedro $ABCD$ (no necesariamente regular) tocan la cara $ABC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestre que $\measuredangle XAB=\measuredangle CAY$.

2019.6 Dado un cuadrilátero $ABCD$ que contiene un círculo $\omega$ con centro $I$, las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $Q$, y las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $P$, donde el punto $B$ está en el segmento $AP$ y el punto $D$ está en el segmento $AQ$. Sean $X$ e $Y$ los centros de los círculos contenidos en los triángulos $PBD$ y $QBD$. Demuestre que si las rectas $PY$ y $QX$ se intersecan en el punto $R$, entonces $RI \perp BD$.

13 Sean $ABC$ y $PQR$ dos triángulos tales que (a) $P$ es el punto medio de $BC$ y $A$ es el punto medio de $QR$. (b) $QR$ biseca al $\angle BAC$ y $BC$ biseca al $\angle QPR$. Demuestre que $AB+AC=PQ+PR$.

1-Sea $ \triangle ABC$ un triángulo y $ (O)$ su circunferencia circunscrita. $ D$ es el punto medio del arco $ BC$ que no contiene a $ A$. Dibujamos un círculo $ W$ que es tangente internamente a $ (O)$ en $ D$ y tangente a $ BC$. Dibujamos la tangente $ AT$ desde $ A$ al círculo $ W$. Se toma $ P$ sobre $ AB$ tal que $ AP = AT$. $ P$ y $ T$ están en el mismo lado con respecto a $ A$. DEMUESTRE QUE $ \angle APD = 90^\circ$.

2022.5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno. Suponga que $A_1,B_1,C_1$ son puntos que yacen sobre los lados $BC,CA,AB$ tales que $\angle B_1AC_1 = \angle B_1A_1C_1$, $\angle C_1BA_1 = \angle C_1B_1A_1$ y $\angle A_1CB_1 = \angle A_1C_1B_1$. Denotemos los puntos de intersección de los lados $BC,CA,AB$ con el circuncírculo de $A_1B_1C_1$ como $A_2,B_2,C_2$ respectivamente. Entonces, demuestre que $AA_2,BB_2,CC_2$ son concurrentes si y solo si $\angle BC_1A_1 = \angle A_1B_1C$.