6B a) Sea M el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales para las cuales se satisfacen las siguientes desigualdades (1) a (5): $$55x + z \le 54 \,\,\,(1)$$ $$55y + z \le 54 \,\,\,(2)$$ $$55x - 4z \ge 4 \,\,\, (3)$$ $$55y - 4z \ge 4 \,\,\,(4)$$ $$z \ge -1 \,\,\,(5)$$ Investigue si para la expresión $$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \,\,\, (6)$$ existe una terna $(x_0, y_0, z_0) \in M$ tal que para todas las ternas $(x, y, z) \in M$, se cumple la desigualdad $$f(x_0, y_0, z_0) \ge f(x, y, z)$$ Si este es el caso, determine $f(x_0, y_0, z_0)$. b) Sea $M'$ el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de enteros para las cuales se satisfacen las desigualdades (1) a (5). Investigue si para la expresión (6) existe una terna $(x_1, y_1, z_1) \in M'$ con la propiedad de que para todas las ternas $(x, y, z) \in M'$ se cumple la desigualdad $$f(x_1, y_1, z_1) \ge f(x, y, z)$$ Si este es el caso, determine $f(x_1, y_1, z_1)$.

4 (1) Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen $(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$. Demuestre que $a,b,c$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente. (2) Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ ($n>3$) números reales positivos que satisfacen $(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+ a_2^4+\dots +a_n^4)$. Demuestre que cualesquiera tres de $a_1,a_2,\dots ,a_n$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente.

6B Investigue si existe un número natural $k$ con $k \ge 1$ y $k$ números naturales $a_1$ , $a_2$ , $...,$ $a_k$ , que no son necesariamente distintos entre sí, tales que $a_1 + a_2 + ... + a_k = 1984$ y $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_k} = 1$ . Si esto es cierto, enumere dichos números naturales $a_1$ , $a_2$ , $...,$ $a_k$ .

2 Sea $x$ un número natural. Llamamos $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ un enlace de factores de $x$ si la sucesión $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisface las siguientes condiciones: (1) $x_0=1, x_l=x$ ; (2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$. Mientras tanto, definimos $l$ como la longitud del enlace de factores $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$. Denotemos por $L(x)$ y $R(x)$ la longitud y el número de enlaces de factores más largos de $x$, respectivamente. Para $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$, donde $k,m,n$ son números naturales, encuentre el valor de $L(x)$ y $R(x)$.

15 Sea $\overline{CH}$ una altura del $\triangle ABC$. Sean $R$ y $S$ los puntos donde los círculos inscritos en los triángulos $ACH$ y $BCH$ son tangentes a $\overline{CH}$. Si $AB = 1995$, $AC = 1994$ y $BC = 1993$, entonces $RS$ puede expresarse como $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros primos entre sí. Encuentre $m + n$.

7 Encuentre todos los enteros positivos $a,b,c$ tales que $$\begin{cases} a^2 = 4(b+c) \\ a^3 -2b^3 -4c^3 =\frac12 abc \end {cases}$$

3 Dada una sucesión finita de números reales $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ( $\ast$ ), llamamos a un segmento $a_k,\dots ,a_{k+l-1}$ de la sucesión ( $\ast$ ) un "largo" (dragón chino) y a $a_k$ "cabeza" del "largo" si la media aritmética de $a_k,\dots ,a_{k+l-1}$ es mayor que $1988$ (especialmente si un solo elemento $a_m>1988$, seguimos considerando a $a_m$ como un "largo"). Suponga que existe al menos un "largo" en la sucesión ( $\ast$ ), demuestre que la media aritmética de todos aquellos elementos de la sucesión ( $\ast$ ) que podrían ser "cabeza" de un cierto "largo" individualmente es mayor que $1988$.

5 Demuestre que para todo entero $n \ge 2$ y todo entero $k \ge 2$, se cumple lo siguiente: $$\frac12+ \frac13 +... + \frac{1}{n^k- 1} + \frac{1}{n^k} > k\cdot \left( \frac12+ \frac13 +... + \frac{1}{n- 1} + \frac{1}{n}\right)$$

7 Un cuadrado de lado $10^6$, al cual se le ha recortado un cuadrado en una esquina de lado $10^{-3}$, está particionado en $10$ rectángulos. Demuestre que al menos uno de estos rectángulos tiene una razón entre su lado mayor y su lado menor de al menos $9$.

4 Definición: Sea $d(X, Y)$ la distancia entre dos puntos $X, Y$ en un conjunto de $m$ puntos. Un número real $d$ se denomina el diámetro de $m$ si se satisfacen las siguientes condiciones: (1) Para cualesquiera dos puntos $X, Y$ en $m$, $d(X,Y) \le d$. (2) Existen puntos $P, Q$ en $m$ tales que $d(P,Q) = d$. Demuestre: a) Si un área circular con diámetro $d$ se divide en dos partes mediante cualquier polígono que interseca al círculo en un punto $M$ y un punto $N$, entonces una de estas áreas parciales (cada una incluyendo su frontera) también tiene diámetro $d$. b) Si un cuerpo esférico con diámetro $d$ se divide en dos subcuerpos mediante una superficie de corte plana $\varepsilon_1$ y luego uno de estos subcuerpos se divide nuevamente en dos subcuerpos mediante una superficie de corte plana $\varepsilon_2$, entonces en cada una de tales divisiones de un cuerpo esférico en tres subcuerpos, al menos uno de estos subcuerpos (cada uno incluyendo sus superficies fronterizas) también tiene el diámetro $d$.