2 En el estado de Wegedonien, existe una red de carreteras. En cada intersección y cruce de carreteras de esta red, hay un puesto de control de tráfico. La longitud de cada segmento de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes es menor que $100$ km. Se puede llegar a cada puesto de control de tráfico desde cualquier otro mediante una ruta total dentro de la red que es menor que $100$ km. Además, para cada segmento de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes: si ese segmento de carretera específico está bloqueado, todavía se puede llegar a cada puesto de control de tráfico desde cualquier otro mediante una ruta total que consiste únicamente en segmentos de carretera no bloqueados en la red. Demuestre que esto se puede hacer en una ruta menor que $300$ km.

2 Sean $g$ y $h$ las funciones definidas en el conjunto (de dos elementos) $\{1, - 1\}$ como dominio mediante $$g(1) = 1, g(-1) = -1\,\,\, (1)$$ $$h(1) = -1, h(-1) = 1 \,\,\,(2). $$ Además, sean $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6, f_7$ funciones, algunas de las cuales son iguales a $g$ y el resto son iguales a $h$. Para estas funciones: $$f_1(1) = -1, f_6(1) = f_7(1) = 1 \,\,\, (3)$$ $$f_3(f_4(1)) = -1 \,\,\,(4)$$ $$f_1(f_2(f_3(f_4(f_5(f_6(f_7(1)))))))) = -1 \,\,\, (5)$$ Demuestre que en todos los casos en los que se satisfacen estas condiciones, el número de aquellas $f_i$ que son iguales a $g$ es el mismo, y determine dicho número.

1 Determine todos los enteros $a$ con la propiedad de que para los polinomios $$f(x) = x^{12} - x^{11} + 3x^{10} + 11x^3 - x^2 + 23x + 30$$ $$g(x) = x^3 + 2x + a$$ existe un polinomio $h(x)$ tal que para todo $x$ real se cumple la ecuación $f(x) = g(x)\cdot h(x)$.

3 Dada una sucesión finita de números reales $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ( $\ast$ ), llamamos a un segmento $a_k,\dots ,a_{k+l-1}$ de la sucesión ( $\ast$ ) un "largo" (dragón chino) y a $a_k$ "cabeza" del "largo" si la media aritmética de $a_k,\dots ,a_{k+l-1}$ es mayor que $1988$ (especialmente si un solo elemento $a_m>1988$, seguimos considerando a $a_m$ como un "largo"). Suponga que existe al menos un "largo" en la sucesión ( $\ast$ ), demuestre que la media aritmética de todos aquellos elementos de la sucesión ( $\ast$ ) que podrían ser "cabeza" de un cierto "largo" individualmente es mayor que $1988$.

7 Encuentre todos los enteros positivos $a,b,c$ tales que $$\begin{cases} a^2 = 4(b+c) \\ a^3 -2b^3 -4c^3 =\frac12 abc \end {cases}$$

4 Cinco puntos son colocados arbitrariamente dentro de un triángulo equilátero dado $ABC$ cuya área es igual a $1$. Demuestre que podemos dibujar tres triángulos equiláteros dentro del triángulo $ABC$ tales que se satisfagan todas las siguientes condiciones: i) los cinco puntos están cubiertos por los tres triángulos equiláteros; ii) cualquier lado de los tres triángulos equiláteros es paralelo a un cierto lado del triángulo $ABC$; iii) la suma de las áreas de los tres triángulos equiláteros no es mayor que $0.64$.

3 Sea un número real $a \ne 0$ con $|a| \ne 1$. Encuentre todas las soluciones reales $x$ de la ecuación $$\frac{(x^4 + 1)(x^4 + 6x^2 + 1)}{x^2(x^2-1)^2} = \frac{(a^4 + 1)(a^4 + 6a^2 + 1)}{a^2(a^2- 1)^2}$$

4 Demuestre que para todos los enteros positivos $m, n$ con $m > n$, la suma $s(m, n)$ definida por $$s(m, n) = \sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}|i-j|$$ tiene el valor: $$s(m, n) = \frac13(n- 1)n(n + 1) +\frac12mn(m - n)$$

7 Tres números, $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , se eligen al azar y sin reemplazo del conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ . Otros tres números, $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ , se eligen luego al azar y sin reemplazo del conjunto restante de 997 números. Sea $p$ la probabilidad de que, tras una rotación adecuada, un ladrillo de dimensiones $a_1 \times a_2 \times a_3$ pueda ser contenido en una caja de dimensiones $b_1 \times b_2 \times b_3$ , con los lados del ladrillo paralelos a los lados de la caja. Si $p$ se escribe como una fracción en términos irreducibles, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

2 Encuentre todos los números reales a para los cuales existen números reales no negativos $x_1, x_2, x_3, x_4$ que satisfacen las siguientes ecuaciones (1), (2), (3), (4): $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \,\,\, (1)$$ $$x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = a \,\,\, (2)$$ $$x_1 + 2^2x_2 + 3^2x_3 + 4^2x_4 = a^2 \,\,\, (3)$$ $$x_1 + 2^3x_2 + 3^3x_3 + 4^3x_4 = a^3 \,\,\, (4)$$