4 (1) Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen $(a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4)$. Demuestre que $a,b,c$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente. (2) Sean $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $n$ ($n>3$) números reales positivos que satisfacen $(a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2)^2>(n-1)(a_1^4+ a_2^4+\dots +a_n^4)$. Demuestre que cualesquiera tres de $a_1,a_2,\dots ,a_n$ pueden ser las longitudes de los tres lados de un triángulo, respectivamente.

3 En el interior de un lago hay dos puntos $A, B$ desde los cuales se puede ver cualquier otro punto del lago. Demuestre que también desde cualquier otro punto del segmento $AB$, se pueden ver todos los puntos del lago.

2 En el estado de Wegedonien, existe una red de carreteras. En cada intersección y cruce de carreteras de esta red, hay un puesto de control de tráfico. La longitud de cada segmento de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes es menor que $100$ km. Se puede llegar a cada puesto de control de tráfico desde cualquier otro mediante una ruta total dentro de la red que es menor que $100$ km. Además, para cada segmento de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes: si ese segmento de carretera específico está bloqueado, todavía se puede llegar a cada puesto de control de tráfico desde cualquier otro mediante una ruta total que consiste únicamente en segmentos de carretera no bloqueados en la red. Demuestre que esto se puede hacer en una ruta menor que $300$ km.

6B Una novela utópica narra la historia de un autor que vive indefinidamente. Cada día escribe un texto que llena al menos una hoja de papel, y si comienza más hojas ese día, llena cada una de esas hojas también en el mismo día. A lo largo de cada año, llena un cierto número de hojas de esta manera; estos números pueden variar de un año a otro, pero en ningún año este número excede $730$. Demuestre que: En la vida de este autor, para todo entero positivo $n$, existe un período de días consecutivos en el cual el autor llena exactamente $n$ hojas. Nota: Se asume que la regla actualmente vigente se mantiene indefinidamente, según la cual cada período de ocho años siempre contiene al menos un año bisiesto con $366$ días, mientras que cada año no bisiesto consta de $365$ días.

5 Dados $1989$ puntos en el espacio, cualesquiera tres de ellos no son colineales. Dividimos estos puntos en $30$ grupos de tal manera que el número de puntos en estos grupos sea diferente entre sí. Considere aquellos triángulos cuyos vértices son puntos que pertenecen a tres grupos diferentes entre los $30$. Determine el número de puntos de cada grupo tal que el número de tales triángulos alcance un máximo.

4 Dado un triángulo $ABC$, los puntos $D,E,F$ se encuentran sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Además, los radios de los incírculos de $\triangle AEF, \triangle BFD, \triangle CDE$ son iguales a $r$. Denotemos por $r_0$ y $R$ los radios de los incírculos de $\triangle DEF$ y $\triangle ABC$ respectivamente. Demuestre que $r+r_0=R$.

3 a) Sea $P_1P_2...P_n$ cualquier $n$-ágono convexo plano $E$ en un plano. Demuestre la siguiente afirmación: Si los puntos $Q_1, ..., Q_n$ están ubicados en el interior o en la frontera de $E$ de tal manera que $Q_1, ..., Q_n$ es un $n$-ágono congruente a $E$, entonces cada punto $Q_i$ ($i = 1, 2, ..., n$) es un vértice de $E$. (1) b) ¿Existen $n$-ágonos no convexos $E$ para los cuales la afirmación (1) sea falsa?

6 Sean $x,y,z$ números reales tales que $|x|,|y|,|z| > 2$. ¿Cuál es el menor valor posible de $|xyz+2(x+y+z)|$?

3 Sea un número real $a \ne 0$ con $|a| \ne 1$. Encuentre todas las soluciones reales $x$ de la ecuación $$\frac{(x^4 + 1)(x^4 + 6x^2 + 1)}{x^2(x^2-1)^2} = \frac{(a^4 + 1)(a^4 + 6a^2 + 1)}{a^2(a^2- 1)^2}$$

4 Demuestre que no existen números naturales $n, m, b$ con $n \ge 2$, $m \ge 2$ tales que $(2n)^{2n}- 1 = b^m$ se cumpla.