7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?

5 $100$ personas trabajan en una empresa. Sabemos que al menos $1$ y como máximo $98$ de ellas son ladrones. Esta empresa tiene $m$ almacenes, y a cada una de las $100$ personas se le ha informado la ubicación de un número distinto de cero de estos almacenes. El primer día del año, todos los ladrones informan las ubicaciones de todos los almacenes que conocen a su jefe (quien está fuera de la empresa), y su jefe ataca todos los almacenes reportados. Afortunadamente, la forma en que se informó a las personas sobre las ubicaciones de los almacenes garantiza que, después de este ataque, podemos identificar al menos a uno de los ladrones. Encuentre el valor más pequeño de $m$ que satisface esta condición.

3 Un tablero de ajedrez blanco infinito contiene un tablero de $m \times n$ recubierto con fichas negras de tamaños $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, 1 \times 4$ y $1 \times 5$ sin superposición (cada ficha puede haber aparecido horizontal o verticalmente). ¿Es siempre posible colorear exactamente un cuadrado de cada ficha de blanco, de tal manera que un rey de ajedrez colocado en cualquier cuadrado blanco pueda salir del tablero moviéndose solo a otros cuadrados blancos?

2 Una tabla de $m \times n$ se divide a lo largo de sus líneas de cuadrícula en varias piezas (no necesariamente rectángulos). Las piezas se reensamblan, sin rotación ni reflexión y solo mediante traslación, para formar una tabla de $n \times m$. Demuestre que esto puede lograrse dividiendo la tabla original en, a lo sumo, $ \mid m-n \mid + 1$ piezas.

1 Nueve enteros positivos distintos entre sí están escritos en cada una de las $9$ celdas de la siguiente figura. Paralelas a cada lado del triángulo exterior, hay tres filas que contienen $1, 3$ y $5$ celdas, respectivamente. Esto define un total de $9$ subconjuntos distintos de celdas ($3$ filas en cada una de las $3$ direcciones). Suponga que entre estos $9$ subconjuntos, hay $k$ subconjuntos cuyas sumas de números son iguales. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k$, sobre todas las asignaciones posibles de los $9$ números iniciales a las celdas?

5 Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021 y cava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy nota que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el movimiento $k$-ésimo, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$. Demuestre que existe un valor de $k$ tal que, en el movimiento $k$-ésimo, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

6 Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$. Suponga que, para todo $k=1,2,...,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Demuestre que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

1 Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ en tarjetas diferentes. Luego, baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

2 Demuestre que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\] se cumple para todos los números reales $x_1,\ldots x_n.$

3 Sea $ n $ un número natural. Encuentre todos los números enteros que pueden escribirse como $$ \frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_2} +\cdots +\frac{n}{a_n} , $$ donde $ a_1,a_2,...,a_n $ son números naturales.