1 Demuestre que no existen enteros positivos $x, y$ tales que: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 +...+ (x + 9)^2 = y^2$

7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?

3 Un tablero de ajedrez blanco infinito contiene un tablero de $m \times n$ recubierto con fichas negras de tamaños $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, 1 \times 4$ y $1 \times 5$ sin superposición (cada ficha puede haber aparecido horizontal o verticalmente). ¿Es siempre posible colorear exactamente un cuadrado de cada ficha de blanco, de tal manera que un rey de ajedrez colocado en cualquier cuadrado blanco pueda salir del tablero moviéndose solo a otros cuadrados blancos?

3 Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos en una recta $\ell$, tales que $AB = BC = CD$. En uno de los semiplanos determinados por la recta $\ell$, se eligen los puntos $P$ y $Q$ de tal manera que el triángulo $CPQ$ es equilátero con sus vértices nombrados en sentido horario. Sean $M$ y $N$ dos puntos en el plano tales que los triángulos $MAP$ y $NQD$ son equiláteros (los vértices también están nombrados en sentido horario). Encuentre la medida del ángulo $\angle MBN$.

2 Una tabla de $m \times n$ se divide a lo largo de sus líneas de cuadrícula en varias piezas (no necesariamente rectángulos). Las piezas se reensamblan, sin rotación ni reflexión y solo mediante traslación, para formar una tabla de $n \times m$. Demuestre que esto puede lograrse dividiendo la tabla original en, a lo sumo, $ \mid m-n \mid + 1$ piezas.

1 Nueve enteros positivos distintos entre sí están escritos en cada una de las $9$ celdas de la siguiente figura. Paralelas a cada lado del triángulo exterior, hay tres filas que contienen $1, 3$ y $5$ celdas, respectivamente. Esto define un total de $9$ subconjuntos distintos de celdas ($3$ filas en cada una de las $3$ direcciones). Suponga que entre estos $9$ subconjuntos, hay $k$ subconjuntos cuyas sumas de números son iguales. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k$, sobre todas las asignaciones posibles de los $9$ números iniciales a las celdas?

8 Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Al lado de la caja hay un montón de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se introduce en la caja una bola negra del montón. Si tienen colores diferentes, se devuelve la bola blanca a la caja. Este procedimiento se repite hasta que se retiran las dos últimas bolas de la caja y se introduce una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca? Amir

6 Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$. Suponga que, para todo $k=1,2,...,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Demuestre que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

7 Encuentre todas las soluciones $(x, y) \in \mathbb Z^2$ de la ecuación \[x^3 - y^3 = 2xy + 8.\] Amir

2 Considere el rectángulo $ ABCD $ y los puntos $ M,N,P,Q $ en los segmentos $ AB,BC,CD, $ y $ DA, $ respectivamente, excluyendo sus extremos. Denotemos con $ p_{\square} $ y $ A_{\square} $ el perímetro y el área de $ \square, $ respectivamente. Demuestre que: a) $ p_{MNPQ}\ge AC+BD. $ b) $ p_{MNPQ} =AC+BD\implies A_{MNPQ}\le \frac{A_{ABCD}}{2} . $ c) $ p_{MNPQ} =AC+BD\implies MP^2 +NQ^2\ge AC^2. $ Dan Brânzei y Gheorghe Iurea