2 El polinomio $P(X)$ está definido por $P(X)=(X+2X^{2}+\ldots +nX^{n})^{2}=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{2n}X^{2n}$. Demuestre que $a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{2n}=\frac{n(n+1)(5n^{2}+5n+2)}{24}$.

1 La sucesión $(a_{n})_{n\geq 1}$ está definida por $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ y $a_{n + 2} = (n + 3)a_{n + 1} - (n + 2)a_{n}, \forall n \in \mathbb{N}$. Encuentre todos los valores de $n$ para los cuales $a_{n}$ es divisible por $11$.

3 Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos en una recta $\ell$, tales que $AB = BC = CD$. En uno de los semiplanos determinados por la recta $\ell$, se eligen los puntos $P$ y $Q$ de tal manera que el triángulo $CPQ$ es equilátero con sus vértices nombrados en sentido horario. Sean $M$ y $N$ dos puntos en el plano tales que los triángulos $MAP$ y $NQD$ son equiláteros (los vértices también están nombrados en sentido horario). Encuentre la medida del ángulo $\angle MBN$.

2 Se trazan todas las diagonales en un polígono convexo de $2017$ lados. Una recta $\ell$ corta a dicho polígono pero no pasa por ninguno de sus vértices. Demuestre que la recta $\ell$ corta a un número par de diagonales de dicho polígono.

1 Demuestre que no existen enteros positivos $x, y$ tales que: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 +...+ (x + 9)^2 = y^2$

5 Considere una sucesión infinita $a_1, a_2, \dots$ de enteros positivos tal que $$100!(a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n) \text{ es un múltiplo de } a_{n-m+1}a_{m+n}$$ para todos los enteros positivos $m, n$ tales que $m \leq n$. Demuestre que la sucesión es acotada o lineal. $\emph{Observación:}$ Una sucesión de enteros positivos es $\emph{acotada}$ si existe una constante $N$ tal que $a_n < N$ para todo $n \in \mathbb{Z}_{>0}$. Una sucesión es $\emph{lineal}$ si $a_n = na_1$ para todo $n \in \mathbb{Z}_{>0}.$

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Hay $n$ celdas en un círculo, y a cada celda se le asigna $0$ o $1$. Hay un gallo en una de estas celdas, y repite la siguiente operación: $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $0$, cambia el número asignado a $1$ y se mueve a la siguiente celda en sentido antihorario. $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $1$, cambia el número asignado a $0$ y se mueve a la celda siguiente a la inmediata en sentido antihorario. Demuestre que la siguiente afirmación se cumple después de un número suficientemente grande de operaciones: Si el gallo está en una celda $C$, entonces el gallo dará la vuelta al círculo exactamente tres veces, deteniéndose de nuevo en $C$. Además, cada celda tendría asignado el mismo número que tenía asignado justo antes de que el gallo diera la vuelta al círculo tres veces. Aiden-1089

3 Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros tal que $P(0) \neq 0$. Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros tal que $P(i - j)$ divide a $a_i-a_j$ para todos los enteros positivos distintos $i,j$. Demuestre que la sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ debe ser constante, es decir, $a_n$ es igual a una constante $c$ para todos los enteros positivos $n$. Aiden-1089

2 Sean $\alpha$ y $\beta$ números reales positivos. Emerald realiza un viaje en el plano de coordenadas, comenzando desde el origen $(0,0)$. Cada minuto se mueve una unidad hacia arriba o una unidad hacia la derecha, restringiéndose a la región $| x-y | <2025$ en el plano de coordenadas. En el momento en que visita un punto $(x,y)$, escribe en él el entero $\lfloor x\alpha + y\beta \rfloor$. Resulta que Emerald escribió cada entero no negativo exactamente una vez. Encuentre todos los pares posibles $(\alpha, \beta)$ para los cuales tal viaje sería posible. Aiden-1089

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\Gamma$. Sea $A_1$ la proyección ortogonal de $A$ sobre $BC$ de modo que $AA_1$ es una altura. Sean $B_1$ y $C_1$ las proyecciones ortogonales de $A_1$ sobre $AB$ y $AC$, respectivamente. El punto $P$ es tal que el cuadrilátero $AB_1PC_1$ es convexo y tiene la misma área que el triángulo $ABC$. ¿Es posible que $P$ se encuentre estrictamente en el interior del círculo $\Gamma$? Justifique su respuesta. Aiden-1089