1 Indra tiene una bolsa para llevar flores a su abuela. El primer día ella lleva $n$ flores. A partir del segundo día, Indra intenta llevar el triple más uno con respecto al número de flores del día anterior. Sin embargo, si este número es mayor o igual a $40$, Indra resta múltiplos de $40$ hasta que el resto sea menor que este número, ya que su bolsa no puede contener tantas flores. ¿Para qué valor de $n$ Indra llevará $30$ flores el día $2016$?

3 Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes racionales, de grado al menos $2$. Suponga que una sucesión $(r_{n})$ de números racionales satisface $r_{n}= p(r_{n+1})$ para todo $n\geq 1$. Demuestre que la sucesión $(r_{n})$ es periódica. N.T.TUAN

2 Sean $A', B', C'$ las proyecciones de un punto $M$ dentro de un triángulo $ABC$ sobre los lados $BC, CA, AB$, respectivamente. Defina $p(M ) = \frac{MA'\cdot MB'\cdot MC'}{MA \cdot MB \cdot MC}$. Encuentre la posición del punto $M$ que maximiza $p(M )$. N.T.TUAN

1 Suponga que los números positivos $x$ e $y$ satisfacen $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$. Demuestre que $x^{3}+y^{3}\leq 2$. N.T.TUAN

6 Sean $a,b,c$ números positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $(1+a)\sqrt{\frac{1-a}{a}}+(1+b)\sqrt{\frac{1-b}{b}}+(1+c)\sqrt{\frac{1-c}{c}}\ge{\frac{{3}\sqrt{3}}{4}}{\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}}}$ Litlle

5 El incírculo del $\triangle{ABC}$ es tangente a los lados $BC, AC, AB$ en $P, Q, R$ respectivamente. $AA_{0}$, $BB_{0}$, $CC_{0}$ son perpendiculares a $BC$, $AC$, $AB$. Y $P_{0}, Q_{0}, R_{0}$ son los puntos medios de $AA_{0}$, $BB_{0}$, $CC_{0}$ respectivamente. Demuestre que $PP_{0}, QQ_{0}, RR_{0}$ son concurrentes.

4 Sean $a,b$ enteros positivos arbitrarios. Si $p,q$ son números primos, demuestre que existe un número primo $s$ tal que ${s}\mid{a}^{pq}-{b}^{pq}$ y ${s}\equiv{1}{(mod pq)}$.

Sea $w_{0}$ un círculo que existe en el interior del círculo $w$ ( $w$ y $w_{0}$ no tienen el mismo centro). Cada círculo $w_{j}$ ( $j=\overline{1,4}$ ) es tangente a $w_{0}$ y a $w$. Demuestre que los puntos de intersección de las tangentes comunes exteriores de $w_{i}$ y $w_{j}$ ( $1\le i,j\le 4$ ) son concurrentes.

Sean $m, n$ números reales positivos. Se llena una cuadrícula de ${n}\times{n}$ con enteros no negativos de tal manera que la suma de cualesquiera $n$ números que se encuentren en filas distintas y columnas distintas sea exactamente $m$. ¿De cuántas formas distintas se puede llenar la cuadrícula?

1 Sean $a,b,c,d,e,f$ enteros positivos tales que $a+b+c+d+e+f=N$ y $ab+ac+bc=de+df+ef$. Si ${N}\mid{abc+def}$, demuestre que $N$ es compuesto.