2 Si $a_1$, $a_2$ y $a_3$ son números reales no negativos para los cuales $a_1+a_2+a_3=1$, entonces demuestre la desigualdad $a_1\sqrt{a_2}+a_2\sqrt{a_3}+a_3\sqrt{a_1}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Manzi tiene $n$ sellos y un álbum con $10$ páginas. Él distribuye los $n$ sellos en el álbum de tal manera que cada página tiene un número distinto de sellos. Él descubre que, sin importar cómo lo haga, siempre existe un conjunto de $4$ páginas tal que el número total de sellos en estas $4$ páginas es al menos $\frac{n}{2}$. Determine el valor máximo posible de $n$.

7 Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros positivos tales que $a>b>c>d$. Dado que $ab+bc+ca+d^2|(a+b)(b+c)(c+a)$, encuentre el valor mínimo de $\Omega(ab+bc+ca+d^2)$. Aquí $\Omega(n)$ denota el número de factores primos que tiene $n$. Por ejemplo, $\Omega(12)=3$.

8 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Sean $a_{ij}$ $(1 \leq i,j \leq n)$ $n^2$ números reales no negativos cuya suma es $1$. Para $1\leq i \leq n$, defina $R_i=max_{1\leq k \leq n}(a_{ik})$. Para $1\leq j \leq n$, defina $C_j=min_{1\leq k \leq n}(a_{kj})$. Encuentre el valor máximo de $C_1C_2 \cdots C_n(R_1+R_2+ \cdots +R_n)$.

1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

4 Para todo entero $ k \geq 2,$ demuestre que $ 2^{3k}$ divide al número \[ \binom{2^{k + 1}}{2^{k}} - \binom{2^{k}}{2^{k - 1}} \] pero $ 2^{3k + 1}$ no lo divide. Autor: Waldemar Pompe, Polonia

Un cuadrado de $ (n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentre el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas).

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ se cumple la desigualdad $\{n\sqrt{7}\}>\frac{3\sqrt{7}}{14n}$, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

3 Sean $ k,m,n$ enteros tales que $ 1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determine el tamaño máximo de un subconjunto $ S$ del conjunto $ \{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que no existan $ n$ elementos distintos de $ S$ que sumen $ m.$

6 Sean $a,b,c$ números positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $(1+a)\sqrt{\frac{1-a}{a}}+(1+b)\sqrt{\frac{1-b}{b}}+(1+c)\sqrt{\frac{1-c}{c}}\ge{\frac{{3}\sqrt{3}}{4}}{\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}}}$ Litlle