5 Sea $ABC$ un triángulo, $M$ el punto medio del segmento $AC$ y $H$ el punto de intersección de la recta perpendicular a $AB$ trazada por $C$ con el segmento $AB$. Demuestre que $CH$ pasa por el punto medio del segmento $BM$ si y solo si $3AC^{2} = 3BC^{2} + AB^{2}$.

4 Determine si existen o no dos conjuntos infinitos disjuntos $ A$ y $ B$ de puntos en el plano que satisfagan las siguientes condiciones: a.) No hay tres puntos en $ A \cup B$ que sean colineales, y la distancia entre cualesquiera dos puntos en $ A \cup B$ es al menos 1. b.) Existe un punto de $ A$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ B,$ y existe un punto de $ B$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ A.$

9 En el plano, considere un punto $ X$ y un polígono $ \mathcal{F}$ (que no es necesariamente convexo). Sea $ p$ el perímetro de $ \mathcal{F}$, sea $ d$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los vértices de $ \mathcal{F}$, y sea $ h$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los lados de $ \mathcal{F}$. Demuestre que $ d^2 - h^2\geq\frac {p^2}{4}.$

1 En un triángulo $ABC$ con $AB<AC$, sea $D$ un punto en el segmento $AC$ tal que $BD = CD$. Una recta paralela a $BD$ corta al segmento $BC$ en $E$ y a la recta $AB$ en $F$. El punto $G$ es la intersección de $AE$ y $BD$. Demuestre que $\angle BCG = \angle BCF$. (Côte d’Ivoire)

2 Encuentre todos los enteros positivos $m$ y $n$ sin divisores comunes mayores que 1 tales que $m^3 + n^3$ divida a $m^2 + 20mn + n^2$. (Profesor Yongjin Song)

3 Considere una sucesión de números reales definida por: \begin{align*} x_{1} & = c \\ x_{n+1} & = cx_{n} + \sqrt{c^{2} - 1}\sqrt{x_{n}^{2} - 1} \quad \text{para todo } n \geq 1. \end{align*} Demuestre que si $c$ es un entero positivo, entonces $x_{n}$ es un entero para todo $n \geq 1$. (Sudáfrica)

Manzi tiene $n$ sellos y un álbum con $10$ páginas. Él distribuye los $n$ sellos en el álbum de tal manera que cada página tiene un número distinto de sellos. Él descubre que, sin importar cómo lo haga, siempre existe un conjunto de $4$ páginas tal que el número total de sellos en estas $4$ páginas es al menos $\frac{n}{2}$. Determine el valor máximo posible de $n$.

5 Sean $a, b$ números reales con $a \neq 0$ y sea $$P(x)=ax^4-4ax^3+(5a+b)x^2-4bx+b.$$ Demuestre que todas las raíces de $P(x)$ son reales y positivas si y solo si $a=b$.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$. Sean $D, E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $A, B$ y $C$ a los lados opuestos, respectivamente. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $F$ a la recta $DE$. La recta $FP$ y el circuncírculo del triángulo $BDF$ se cortan de nuevo en $Q$. Demuestre que $\angle PBQ = \angle PAD$.

$n$ $(n\ge10)$ equipos participaron en un torneo y jugaron en formato de todos contra todos. Después del torneo, no hubo empates y cuatro equipos tuvieron la misma puntuación. Demuestre que existen al menos dos ternas de equipos entre ellos tales que cada equipo en la terna ha vencido a los otros dos equipos de manera cíclica.