3 a) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $42$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $1764$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado? b) Cada lado de un triángulo rectángulo se divide en $6k$ partes iguales y los puntos de división se conectan mediante líneas paralelas a los lados, las cuales dividen al triángulo en $36k^2$ triángulos pequeños. Entonces, ¿cuántos vértices de estos triángulos pequeños se pueden elegir como máximo de modo que no haya dos de ellos que se encuentren sobre la misma línea o lado?

2 \[\left\{\begin{array}{c}f(x,f(y,z))+f(f(x,y),z)=2y\\f(x,f(x,y))=y\end{array}\right.\qquad \forall x,y\in\mathbb R\] Encuentre todas las funciones $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ que satisfacen las condiciones.

12 En un triángulo escaleno $ABC$, los puntos $Y$ y $X$ yacen sobre $AC$ y $BC$ respectivamente, tales que $BC \perp XY$. Los puntos $Z$ y $T$ son las reflexiones de $X$ y $Y$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. El punto $P$ yace sobre el segmento $ZT$ tal que el circuncentro del triángulo $XZP$ coincide con el circuncentro del triángulo $ABC$. Demuestre que el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ pasa por el punto medio del segmento $XP$. Propuesto por Amirmahdi Mohseni

10 Un número \( n \) se llama afortunado si tiene al menos dos divisores primos distintos y puede escribirse de la forma: \[ n = p_1^{\alpha_1} + \cdots + p_k^{\alpha_k} \] donde \( p_1, \dots, p_k \) son números primos distintos que dividen a \( n \). (Nota: es posible que \( n \) tenga otros divisores primos que no estén entre \( p_1, \dots, p_k \)). Demuestre que para todo número primo \( p \), existe un número afortunado \( n \) tal que \( p \mid n \). Propuesto por Navid Safaei

1 Sea \( a_n \) una sucesión de números reales positivos tal que para todo \( n > 2025 \), tenemos: \[ a_n = \max_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} - \min_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} \] Demuestre que existe un número natural \( M \) tal que para todo \( n > M \), se cumple lo siguiente: \[ a_n < \frac{1}{1404} \] Propuesto por Navid Safaei

6 Encuentre todas las funciones \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para todos los números reales positivos \( x \) e \( y \), se tiene \[ f(f(f(xy)) + x^2) = f(y)(f(x) - f(x + y)). \] Propuesto por Sobhan Aram

5 En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el punto de tangencia del incírculo con el lado $BC$. Los puntos $T_B$ y $T_C$ son las intersecciones de las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $X_B$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ACD$, y sea $X_C$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ABD$. Demuestre que los triángulos $B T_C X_C$ y $C T_B X_B$ son semejantes. Propuesto por Sobhan Aram

7 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $P$ un punto arbitrario en $AM$. La reflexión de $BP$ sobre $AB$ corta a las rectas $AC$ y $AM$ en $T$ y $Q$, respectivamente. Los circuncírculos de $BPQ$ y $ABC$ se cortan nuevamente en $F$. Demuestre que el centro del circuncírculo de $CFT$ yace sobre $BQ$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard

5 Divida cada lado de un triángulo en $50$ partes iguales, y cada punto de la división se une con el vértice opuesto mediante un segmento. Calcule el número de puntos de intersección determinados por estos segmentos. Aclaración: los vértices del triángulo original no se consideran puntos de intersección ni de división.

4 Encuentre todas las funciones $f:Z\to Z$ con la siguiente propiedad: si $x+y+z=0$, entonces $f(x)+f(y)+f(z)=xyz.$