18 Dada una sucesión $\{a_n\}$ de números reales tal que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$, demuestre que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$, \[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

20 Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demuestre que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

21 Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto distinto de $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2$ y $E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos rectas que pasan por $C$. Demuestre que las rectas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento sobre $t_2$ de igual longitud que el segmento sobre $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2$.

488 ¿Se pueden ensamblar $77$ bloques de $3 \times 3 \times 1$ cada uno para formar un bloque de $7 \times 9 \times 11$?

1. Si $N = 1! + 2! + 3! + \cdots + 2011!$ , entonces el dígito en la posición de las unidades del número $N$ es $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 3 \quad \textbf{(C)}\; 0 \quad \textbf{(D)}\; 9.$ 2. El conjunto de todos los puntos $z$ en el plano complejo que satisfacen $z^2 = |z|^2$ es un $\textbf{(A)}\; \text{par de puntos} \quad \textbf{(B)}\; \text{círculo} \quad \textbf{(C)}\; \text{unión de rectas} \quad \textbf{(D)}\; \text{recta}.$ 3. Si la media aritmética de dos números es $26$ y su media geométrica es $10$ , entonces la ecuación que tiene a estos dos números como raíces es $\textbf{(A)}\; x^2 + 52x + 100 = 0 \quad \textbf{(B)}\; x^2 + 52x - 100 = 0 \quad \textbf{(C)}\; x^2 - 52x + 100 = 0 \quad \textbf{(D)}\; x^2 + 52x - 10 = 0.$ 4. Todos los puntos que yacen dentro del triángulo con vértices en los puntos $(1,3)$ , $(5,0)$ , $(-1,2)$ satisfacen $\textbf{(A)}\; 3x + 2y \ge 0 \quad \textbf{(B)}\; 2x + y - 13 \ge 0 \quad \textbf{(C)}\; 2x - 3y - 12 \ge 0 \quad \textbf{(D)}\; -2x + y \ge 0.$ 5. Para $n \ge 3$ , sea $A$ una matriz de $n \times n$. Si el rango de $A$ es $n - 2$ , entonces el rango de $\operatorname{adj}(A)$ es $\textbf{(A)}\; n - 2 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 1 \quad \textbf{(D)}\; 0.$ 6. Suponga que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función impar y diferenciable. Entonces, para todo $x_0 \in \mathbb{R}$ , $f'(-x_0)$ es igual a $\textbf{(A)}\; f'(x_0) \quad \textbf{(B)}\; -f'(x_0) \quad \textbf{(C)}\; 0 \quad \textbf{(D)}\; \text{Ninguna de estas}.$ 7. Si $S = \{a,b,c\}$ y la relación $R$ en el conjunto $S$ está dada por $R = \{(a,b),(c,c)\}$ , entonces $R$ es $\textbf{(A)}\; \text{reflexiva y transitiva} \quad \textbf{(B)}\; \text{reflexiva pero no transitiva} \quad \textbf{(C)}\; \text{no reflexiva pero transitiva} \quad \textbf{(D)}\; \text{ni reflexiva ni transitiva}.$ 8. Sea $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \left(\frac{1+n}{n}\right)a_n$ para $n \ge 1$ . Entonces la sucesión $\{a_n\}$ es $\textbf{(A)}\; \text{divergente} \quad \textbf{(B)}\; \text{decreciente} \quad \textbf{(C)}\; \text{convergente} \quad \textbf{(D)}\; \text{acotada}.$ 9. El coeficiente de $x^{2n-2}$ en $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\cdots(x-n)(x+n)$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; -\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \textbf{(C)}\; \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \textbf{(D)}\; -\dfrac{n(n+1)}{2}.$ 10. El número de raíces de $5x^4 - 4x + 1 = 0$ en $[0,1]$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 2 \quad \textbf{(D)}\; 3.$

1 Sean $a_1,a_2,\ldots a_n,k$ y $M$ enteros positivos tales que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{y}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$ Si $M>1$, demuestre que el polinomio $$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ no tiene raíces positivas.

1 Sea \( a_n \) una sucesión de números reales positivos tal que para todo \( n > 2025 \), tenemos: \[ a_n = \max_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} - \min_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} \] Demuestre que existe un número natural \( M \) tal que para todo \( n > M \), se cumple lo siguiente: \[ a_n < \frac{1}{1404} \] Propuesto por Navid Safaei

3 Sea $p > 3$ un número primo y $x$ un entero, denotamos por $r(x) \in \{0, 1, ..., p - 1\}$ al resto de $x$ módulo $p$. Sean $x_1, x_2, ..., x_k$ ($2 < k < p$) enteros distintos módulo $p$ y no divisibles por $p$. Decimos que un número $a \in \{1, 2, ..., p - 1\}$ es bueno si $r(a x_1) < r(a x_2) < ... < r(a x_k)$. Demuestre que hay a lo sumo $\frac{2p}{k + 1} - 1$ números buenos.

2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. El círculo de centro $I$ que pasa por $B$ corta a $AC$ en los puntos $E$ y $F$, con $E$ y $F$ entre $A$ y $C$ y distintos entre sí. El círculo circunscrito al triángulo $IEF$ corta a los segmentos $EB$ y $FB$ en $Q$ y $R$, respectivamente. La recta $QR$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $P$ y $S$, respectivamente. Si $a$, $b$ y $c$ son las medidas de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, calcule las medidas de $BP$ y $BS$.

1 Determine los valores de $n \in \mathbb{N}$ tales que un cuadrado de lado $n$ puede ser dividido en un cuadrado de lado $1$ y cinco rectángulos cuyas medidas de lado son $10$ números naturales distintos y todos mayores que $1$.