442 Se sabe que, teniendo $6$ pesas, es posible equilibrar una balanza con cargas, cuyos pesos son números naturales consecutivos desde $1$ hasta $63$. Encuentre todos los conjuntos de pesas posibles.

463 Un libro contiene $30$ historias. Cada historia tiene un número diferente de páginas menor que $31$. La primera historia comienza en la página $1$ y cada historia comienza en una página nueva. ¿Cuál es el mayor número posible de historias que pueden comenzar en números de página impares?

7 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $P$ un punto arbitrario en $AM$. La reflexión de $BP$ sobre $AB$ corta a las rectas $AC$ y $AM$ en $T$ y $Q$, respectivamente. Los circuncírculos de $BPQ$ y $ABC$ se cortan nuevamente en $F$. Demuestre que el centro del circuncírculo de $CFT$ yace sobre $BQ$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard

2 Suponga que \( p \) es un número primo. Tenemos una cantidad de cartas, cada una de las cuales tiene un número escrito de tal manera que cada uno de los números \( 1, \dots, p-1 \) aparece a lo sumo una vez y el $0$ aparece exactamente una vez. Para diseñar un juego, para cada par de cartas \( x \) e \( y \), queremos determinar qué carta gana sobre la otra. Deben satisfacerse las siguientes condiciones: $a)$ Si la carta \( x \) gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) gana sobre la carta \( z \), entonces la carta \( x \) también debe ganar sobre la carta \( z \). $b)$ Si la carta \( x \) no gana sobre la carta \( y \), y la carta \( y \) no gana sobre la carta \( z \), entonces para cualquier carta \( t \), la carta \( x + z \) no debe ganar sobre la carta \( y + t \). ¿Cuál es el número máximo de cartas tal que el juego pueda ser diseñado (es decir, una carta no derrota a otra a menos que la victoria sea simétrica o consistente)? Propuesto por Ali Partofard

1 Sea \( a_n \) una sucesión de números reales positivos tal que para todo \( n > 2025 \), tenemos: \[ a_n = \max_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} - \min_{1 \leq i \leq 2025} a_{n-i} \] Demuestre que existe un número natural \( M \) tal que para todo \( n > M \), se cumple lo siguiente: \[ a_n < \frac{1}{1404} \] Propuesto por Navid Safaei

1.3 Demuestre que la ecuación $a^2 - b^2=ab - 1$ tiene infinitas soluciones, si $a,b$ son enteros positivos

18 Dada una sucesión $\{a_n\}$ de números reales tal que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$, demuestre que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$, \[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

19 Encuentre el mayor número natural $n$ tal que existen números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfacen las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$: \[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]

6 Sea $n > 2$ un número natural. Se dice que un subconjunto $A$ de $R$ es $n$-pequeño si existen $n$ números reales $t_1, t_2, ..., t_n$ tales que los conjuntos $t_1 + A, t_2 + A, ..., t_n + A$ son distintos. Demuestre que $R$ no puede representarse como una unión de $n - 1$ conjuntos $n$-pequeños. Notación: si $r \in R$ y $B \subset R$, entonces $r + B = \{ r + b \mid b \in B\}$.

5 Divida cada lado de un triángulo en $50$ partes iguales, y cada punto de la división se une con el vértice opuesto mediante un segmento. Calcule el número de puntos de intersección determinados por estos segmentos. Aclaración: los vértices del triángulo original no se consideran puntos de intersección ni de división.