6 Dos jugadores, Arnaldo y Betania, juegan alternadamente, siendo Arnaldo el primero en jugar. Inicialmente hay dos montones de piedras que contienen $x$ e $y$ piedras respectivamente. En cada turno, es posible realizar una de las siguientes operaciones: 1. Elegir dos montones no vacíos y tomar una piedra de cada montón. 2. Elegir un montón con una cantidad impar de piedras, tomar una de sus piedras y, si es posible, dividirlo en dos montones con la misma cantidad de piedras. El jugador que no pueda realizar ninguna de las operaciones 1 y 2 pierde. Determine quién tiene la estrategia ganadora basándose en $x$ e $y$.

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R^{+}$ tales que $$f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x)$$ para todo $x,\ y\in\mathbb{R^{+}}$.

4 Para cada entero $n$ ($n \ge 2$), sea $f(n)$ la suma de todos los enteros positivos que son a lo sumo $n$ y no son primos relativos con $n$. Demuestre que $f(n+p) \neq f(n)$ para cada $n$ de este tipo y cada primo $p$.

1 Hay $100$ números reales distintos. Demuestre que podemos colocarlos en una tabla de $10 \times 10$, tal que la diferencia entre dos números en celdas con un lado común no sea igual a $1$. A. Golovanov

12 Se nos da un entero positivo $n$ que no es una potencia de dos. Demuestre que existe un entero positivo $m$ con las siguientes dos propiedades: (a) $m$ es el producto de dos enteros positivos consecutivos; (b) la representación decimal de $m$ consiste en dos bloques idénticos de $n$ dígitos. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 8) Martin N.

9 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las rectas $DE$ y $FK$ se cortan en $S$. Demuestre que $AS$ es paralela a $BC$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competición por Equipos, Problema 5) Martin N.

2 a) Sean $UVW$ y $U'V'W'$ dos triángulos tales que $VW = V'W'$, $UV = U'V'$ y $\angle WUV = \angle W'U'V'$. Demuestre que los ángulos $\angle VWU$ y $\angle V'W'U'$ son iguales o suplementarios. b) $ABC$ es un triángulo donde $\angle A$ es obtuso. Tome un punto $P$ dentro del triángulo y extienda $AP, BP, CP$ para que corten a los lados $BC, CA, AB$ en $K, L, M$ respectivamente. Suponga que $PL = PM$. 1) Si $AP$ biseca al $\angle A$, entonces demuestre que $AB = AC$. 2) Encuentre los ángulos del triángulo $ABC$ si sabe que $AK, BL, CM$ son las bisectrices de los ángulos del triángulo $ABC$ y que $2AK = BL$.

6 Para cada entero $n\geqslant2$, determine la mayor constante real $C_n$ tal que para todos los números reales positivos $a_1, \ldots, a_n$ se tiene \[\frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n}\geqslant\left(\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right)^2+C_n\cdot(a_1-a_n)^2\mbox{.}\] (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 2) Martin N.

1 En un cuadrado $ABCD$, sea $F$ el punto medio de $\left[ CD\right] $ y sea $E$ un punto en $\left[ AB\right] $ tal que $AE>EB$. La paralela a $\left( DE\right) $ que pasa por $F$ corta al segmento $\left[ BC\right] $ en $H$. Demuestre que la recta $\left( EH\right) $ es tangente al círculo circunscrito a $ABCD$.

5 Igual que el Problema Senior