6 ¿Puede $\mathbb Z$ ser contenido en la unión de progresiones aritméticas finitas con diferencias coprimas mayores que $1$? (Por $\mathbb Z$ nos referimos al conjunto de los números enteros, y por progresión aritmética nos referimos al conjunto de números $a+mk$, $k\in\mathbb Z$).

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R^{+}$ tales que $$f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x)$$ para todo $x,\ y\in\mathbb{R^{+}}$.

2 Encuentre todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ se cumple la siguiente relación: \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \] Valentin

1 a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todo entero positivo $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares distintos y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

4 Ana y Beto juegan en una cuadrícula de $2022 \times 2022$. Ana colorea de rojo algunos lados de los cuadrados del tablero, de tal manera que ningún cuadrado tenga dos lados rojos que compartan un vértice. A continuación, Beto debe colorear un camino azul que conecte dos de las cuatro esquinas del tablero, siguiendo los lados de los cuadrados y sin utilizar ningún segmento rojo. Si Beto tiene éxito, él es el ganador; de lo contrario, Ana gana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

1 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}$, se cumple \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y).\] Martin N.

2 Sea $n\geq 3$ un número impar. Jugaremos un juego utilizando una cuadrícula de $n$ por $n$. El juego consta de $n^2$ turnos; en cada turno, realizaremos la siguiente operación secuencialmente: $\bullet$ Elegiremos una casilla con un entero no escrito y escribiremos un entero entre 1 y $n^2$. Podemos escribir cualquier entero solo una vez durante el juego. $\bullet$ Para cada fila y columna que incluya la casilla, si la suma de los enteros es un múltiplo de $n$, obtendremos 1 punto (si ambas sumas son múltiplos de $n$, obtendremos 2 puntos). Determine el valor máximo posible de los puntos como la suma total que podemos obtener al finalizar el juego.

3 Igual que el Problema Senior

1 Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ sean ambos potencias de $5$. Nikola Velov, Macedonia del Norte

6 En una pizarra están escritos los números $1, 2, 3, \dots, 170$. Se desea colorear cada uno de estos números con $k$ colores $C_1, C_2, \dots, C_k$, de tal manera que se satisfaga la siguiente condición: para cada $i$ con $1 \leq i < k$, la suma de todos los números con el color $C_i$ divide a la suma de todos los números con el color $C_{i+1}$. Determine el mayor valor posible de $k$ para el cual es posible realizar dicha coloración.