2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $AC$. El punto $C_1$ sobre $AB$ es tal que $CC_1$ es una altura del triángulo $ABC$. Sea $H_1$ la reflexión de $H$ respecto a $AB$. Las proyecciones ortogonales de $C_1$ sobre las rectas $AH_1$, $AC$ y $BC$ son $P$, $Q$ y $R$, respectivamente. Sea $M_1$ el punto tal que el circuncentro del triángulo $PQR$ es el punto medio del segmento $MM_1$. Demuestre que $M_1$ se encuentra sobre el segmento $BH_1$.

1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. Demuestre que \[ \frac{a^2b(b-c)}{a+b}+\frac{b^2c(c-a)}{b+c}+\frac{c^2a(a-b)}{c+a} \ge 0. \]

8 Cuatro sabios están de pie alrededor de un baobab no transparente. Cada uno de los sabios lleva un sombrero rojo, azul o verde. Un sabio solo ve a sus dos vecinos. Cada uno de ellos debe adivinar al mismo tiempo el color de su propio sombrero. Si al menos un sabio adivina correctamente, los sabios ganan. Ellos pudieron consultar antes de que comenzara el juego. ¿Cómo deben actuar para ganar?

7 $CL$ es la bisectriz del $\angle C$ del $ABC$ e interseca al circuncírculo en $K$. $I$ es el incentro del $ABC$. $IL=LK$. Demuestre que $CI=IK$. D. Shiryaev

6 ¿Existe una sucesión $(a_n)$ de números naturales tal que las diferencias $\{a_{n+1}-a_n\}$ tomen cada valor natural exactamente una vez y las diferencias $\{a_{n+2}-a_n\}$ tomen cada valor natural mayor que $2015$ exactamente una vez? A. Golovanov

5 Igual que el Problema Senior

4 Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que en la representación decimal de cada uno de los números $\sqrt{n}$, $\sqrt[3]{n}, \dots, \sqrt[10]{n}$, los dígitos $2015$ aparecen inmediatamente después del punto decimal. A. Golovanov

3 Igual que el Problema Senior

2 Llamamos a un número divertido si es divisible por la suma de sus dígitos $+1$. (por ejemplo, $1+2+1|12$, por lo que $12$ es divertido). ¿Cuál es el número máximo de números divertidos consecutivos? O. Podlipski

1 Hay $100$ números reales distintos. Demuestre que podemos colocarlos en una tabla de $10 \times 10$, tal que la diferencia entre dos números en celdas con un lado común no sea igual a $1$. A. Golovanov