4. Sean $v$ y $w$ dos raíces elegidas al azar de la ecuación $z^{1997} - 1 = 0$ (todas las raíces son equiprobables). Encuentre la probabilidad de que $\sqrt{2+\sqrt{3}} \le |v+w|$.

2021.7.3 Se traza la bisectriz $CD$ en el triángulo $ABC$. Se sabe que $\angle A = 2\angle B$ y $\angle C= 2(\angle A + \angle B)$. Demuestre que $AB=BC+CD$.

2025.8.3 Los círculos $\Gamma$ y $\Omega$ son tangentes internamente entre sí en el punto $A$. El círculo $\Omega$ se encuentra dentro del círculo $\Gamma$. Se elige un punto $P$ diferente del punto $A$ en el círculo $\Gamma$. Las cuerdas $P R$ y $P Q$ del círculo $\Gamma$ son tangentes al círculo $\Omega$ en los puntos $B$ y $C$, respectivamente. La recta $A P$ corta al círculo $\Omega$ en el punto $X$ $(X \neq A)$. Las rectas $A C$ y $B X$ se cortan en el punto $Y$ (el punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $Y$, el punto $X$ se encuentra entre los puntos $B$ y $Y$). Resulta que el punto $Y$ se encuentra en el círculo $\Gamma$. Demuestre que $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.

6 Sea $n \ge 2$ un entero positivo, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[ \frac{1}{3} \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \ge \sum_{1 \le i<j \le n} \frac{x_i x_j}{2^{\nu_2(j-i)}}. \] Nota: Para un entero positivo $k$, $\nu_2(k)$ denota el mayor entero $\alpha$ tal que $2^\alpha \mid k$.

7 Sea $N$ un entero positivo. Hay $N$ guijarros sobre una mesa. Alice y Bob juegan un juego tomando turnos para recoger guijarros de la mesa, comenzando Alice. En cada turno, un jugador puede realizar una de las siguientes dos operaciones: Operación A: recoger 1, 2 o 3 guijarros; Operación B: recoger 4 guijarros. A cada jugador se le permite realizar la Operación B como máximo 5 veces. El jugador que recoge los últimos guijarros gana. Determine el número de valores de $N$ en $1, 2, \ldots, 2025$ tales que Alice tiene una estrategia ganadora.

5 Para cualquier entero positivo $n$, sea $f(n)=\tau(n)+\sigma(n)$, donde $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ denotan el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$, respectivamente. (a) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \not\equiv f(n+1) \pmod 4$. (b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \equiv f(n+1) \pmod 4$.

8 En un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, sean $D, E, F$ las proyecciones de $A, B, C$ sobre los lados opuestos, respectivamente. La mediatriz de $BF$ corta a $DE$ en $P$, y la mediatriz de $CE$ corta a $DF$ en $Q$. Sea $K$ un punto en la recta $PQ$ tal que $\angle PKE=\angle PKF$, y sea $DK$ una recta que corta al circuncírculo del $\triangle KEF$ en $T \neq K$. Demuestre que $\angle ATE=\angle ATF$.

4 Para un número real $\lambda$ considere la afirmación $P(\lambda)$: Existe un entero positivo $n$ y $3n$ números reales distintos dos a dos $a_1, a_2, \cdots a_n \; ; \; b_1, b_2, \cdots, b_n \; ; \; c_1, c_2, \cdots c_n$ tales que: \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, a_i>b_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, b_i>c_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, c_i>a_j \}| \ge \lambda n^2 \] Demuestre que si $\lambda < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ entonces $P(\lambda)$ es verdadera y, en caso contrario, es falsa.

5 Usted tiene $2$ columnas de $11$ cuadrados en el medio, a la derecha y a la izquierda tiene columnas de $9$ cuadrados (centradas sobre las de $11$ cuadrados), luego columnas de $7, 5, 3, 1$ cuadrados. (Esta es la forma en que se explicó en el hilo original, http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=44430; de todos modos, creo que puede entender cómo se ve). Varias torres están sobre el tablero y cubren todos los cuadrados (una torre también cubre el cuadrado en el que se encuentra). Demuestre que se pueden retirar varias torres de tal manera que no queden más de $11$ torres y aún así se cubran todos los cuadrados del tablero. Propuesto por D. Rostovsky, basado en folclore.

2024.8.4 En el triángulo $ABC$, $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita y $H$ es su ortocentro (el punto de intersección de las alturas). $D$ es un punto en $BC$ tal que $BD=BH$, y $E$ es un punto en $AB$ tal que $BE=BO$. Encuentre la longitud de $DE$ si $BO=1$.