3 El polinomio $ f(x)=ax^2+bx+c$ tiene coeficientes reales y satisface $ \left|f(x)\right|\le 1$ para todo $ x\in [0, 1]$ . Encuentre el valor máximo de $ |a|+|b|+|c|$ .

4 Considere un poliedro convexo cuyas caras son triángulos. Demuestre que es posible colorear sus aristas de rojo o azul, de tal manera que se satisfaga la siguiente propiedad: se puede viajar desde cualquier vértice hasta cualquier otro vértice pasando solo por aristas rojas, y también se puede hacer esto pasando solo por aristas azules.

1 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con circunferencia circunscrita $\omega$. La tangente a $\omega$ en $A$ corta a $BC$ en $D$. La $A$-mediana del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y a $\omega$ en $M$ y $N$, respectivamente. Suponga que $K$ es un punto tal que $ADMK$ es un paralelogramo. Demuestre que $KA = KN$. Propuesto por Alexandru Lopotenco (Moldavia)

2020.G5 publicado como 2021

4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y$ reales, se cumple la siguiente relación: $$(x+y) \cdot f(x+y)= f(f(x)+y) \cdot f(x+f(y)).$$ Propuesto por Vadym Koval (Ucrania)

2009.G5.3 Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos tales que $B$ es el punto medio del segmento $AC$ y sea $P$ un punto tal que $\angle PBC=60^\circ$. Se construye el triángulo equilátero $PCQ$ de tal manera que $B$ y $Q$ se encuentran en semiplanos diferentes con respecto a $PC$, y se construye el triángulo equilátero $APR$ de tal manera que $B$ y $R$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a $AP$. Sea $X$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $PC$, y sea $Y$ el punto de intersección de las rectas $BR$ y $AP$. Demuestre que $XY$ y $AC$ son paralelos.

2005.G6 Sean $AM$ y $AN$ las tangentes a un círculo $\Gamma$ trazadas desde un punto $A$ ($M$ y $N$ yacen sobre el círculo). Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $A$ y $C$ tal que $AB: BC = 2: 3$. Si $P$ es el punto de intersección de $AB$ y $MN$, calcule la razón $AP: CP$.

1993.14 Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde un punto $P$ a los vértices de un triángulo $ABC$ es mínima cuando $P$ es el baricentro del triángulo.

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ tales que \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right) \] se cumple para todo $x,y\in\mathbb R^+.$