3 Sea $f(x):\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q}$ una función que satisface $f(x+2y)+f(2x-y)=5f(x)+5f(y)$. Encuentre todas las funciones tales.

1 Sea $P(x)=x^4+5x^3+mx^2+5nx+4$ un polinomio que tiene $2$ raíces reales distintas, cuya suma es $-5$. Si $m,n \in \mathbb {Z_+}$ , encuentre los valores de $m,n$ y sus raíces correspondientes.

1 Encuentre todos los $k>0$ para los cuales existe una función estrictamente decreciente $g:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ tal que $g(x)\geq kg(x+g(x))$ para todo $x$ positivo.

1 Javier multiplica cuatro dígitos, no necesariamente diferentes, y obtiene un número que termina en $7$. Determine cuánto puede valer la suma de los cuatro dígitos que Javier multiplica. Dé todas las posibilidades.

5 Hay $90$ tarjetas y en cada una hay escritos dos dígitos diferentes: $01$ , $02$ , $03$ , $04$ , $05$ , $06$ , $07$ , $08$ , $09$ , $10$ , $12$ , y así sucesivamente hasta $98$ . Un conjunto de tarjetas es correcto si no contiene ninguna tarjeta cuyo primer dígito sea el mismo que el segundo dígito de otra tarjeta en el conjunto. Llamamos valor de un conjunto de tarjetas a la suma de los números escritos en cada tarjeta. Por ejemplo, las cuatro tarjetas $04$ , $35$ , $78$ y $98$ forman un conjunto correcto y su valor es $215$ , ya que $04+35+78+98=215$ . Encuentre un conjunto correcto que tenga el mayor valor posible. Explique por qué es imposible lograr un conjunto correcto de mayor valor.

6 ¿Existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos? La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera (o suelo) del número real $x$. Por lo tanto, $\lfloor\sqrt{2}\rfloor = 1, \lfloor\pi\rfloor =\lfloor 22/7 \rfloor = 3, \lfloor 42\rfloor = 42,$ y $\lfloor 0 \rfloor = 0$.

3 En cada casilla de un tablero de $5\times 5$ está escrito $1$ o $-1$. En cada paso, el número de cada una de las $25$ celdas es reemplazado por el resultado de la multiplicación de los números de todas sus celdas vecinas. Inicialmente tenemos el tablero de la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/d/29b8e5df29526630102ac400a3a2b2f8fee4f7.gif Demuestre cómo luce el tablero después de $2004$ pasos. Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.

3 ¿Existen enteros $x,y,z,k>1$ tales que: $\text{(1)} \; x, y, z$ tienen exactamente $k$ divisores mayores que $1$. $\text{(2)} \;$ Existe una permutación $a_1, a_2, \cdots, a_k$ de los $k$ divisores de $x$ mayores que $1$ y una permutación $b_1, b_2, \cdots, b_k$ de los $k$ divisores de $y$ mayores que $1$ tales que $a_i+b_i$ para todo $1 \le i \le k$ son todos los divisores de $z$ mayores que $1$?

4 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. Sea la recta que pasa por $D$ perpendicular a $BI$ que interseca a $CI$ en $E$. Sea la recta que pasa por $D$ perpendicular a $CI$ que interseca a $BI$ en $F$. Demuestre que la reflexión de $A$ respecto a la recta $EF$ se encuentra sobre la recta $BC$.

3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz externa del ángulo $A$ con las alturas de $ABC$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos en los segmentos $EC$ y $FB$ respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E, F, N, M$ yacen sobre un círculo.