La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. joybangla 836 publicaciones joybangla #1 h 3 de julio de 2014, 6:25 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sean $a,b,c$ números reales positivos que satisfacen: \[ \frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b}\ge \frac{ab}{1+a+b}+\frac{bc}{1+b+c}+\frac{ca}{1+c+a} \] Demuestre que: \[ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2\ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \] Propuesto por Dimitar Trenevski Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. joybangla 836 publicaciones joybangla #1 h 3 de julio de 2014, 6:01 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Se nos da una cerradura de combinación que consta de $6$ discos giratorios. Cada disco consta de los dígitos $0, 1, 2,\ldots , 9$ en ese orden (después del dígito $9$ viene el $0$). La cerradura se abre con exactamente una combinación. Un movimiento consiste en girar uno de los discos un dígito en cualquier dirección y la cerradura se abre instantáneamente si la combinación actual es la correcta. Los discos se colocan inicialmente en la posición $000000$, y sabemos que esta combinación no es la correcta. a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta? b) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta, si sabemos que ninguna de las combinaciones $000000, 111111, 222222, \ldots , 999999$ es correcta? Propuesto por Ognjen Stipetić y Grgur Valentić Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. joybangla 836 publicaciones joybangla #1 h 3 de julio de 2014, 4:09 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sea $P$ un punto dentro de un triángulo $ABC$. Una recta que pasa por $P$ paralela a $AB$ corta a $BC$ y $CA$ en los puntos $L$ y $F$, respectivamente. Una recta que pasa por $P$ paralela a $BC$ corta a $CA$ y $BA$ en los puntos $M$ y $D$, respectivamente, y una recta que pasa por $P$ paralela a $CA$ corta a $AB$ y $BC$ en los puntos $N$ y $E$, respectivamente. Demuestre que \begin{align*} [PDBL] \cdot [PECM] \cdot [PFAN]=8\cdot [PFM] \cdot [PEL] \cdot [PDN] \\ \end{align*} Propuesto por Steve Dinh Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. joybangla 836 publicaciones joybangla #1 h 3 de julio de 2014, 2:57 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario Para $m\in \mathbb{N}$ defina $m?$ como el producto de los primeros $m$ números primos. Determine si existen enteros positivos $m,n$ con la siguiente propiedad: \[ m?=n(n+1)(n+2)(n+3) \] Propuesto por Matko Ljulj Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2011, 8:50 a. m. • 6 Y Y por FaThEr-SqUiRrEl, Adventure10 y otros 4 usuarios. Dados seis números positivos $a,b,c,d,e,f$ tales que $a < b < c < d < e < f.$ Sean $a+c+e=S$ y $b+d+f=T.$ Demuestre que \[2ST > \sqrt{3(S+T)\left(S(bd + bf + df) + T(ac + ae + ce) \right)}.\] Propuesto por Sung Yun Kim, Corea del Sur. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 6 de septiembre de 2011, 9:08 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 8 de julio de 2010, 3:17 AM • 14 Y Y por Davi-8191, FlakeLCR, Mathcollege, HolyMath, CahitArf, Adventure10, Mango247, Tastymooncake2, idkk, y otros 5 usuarios. Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de números reales positivos, y $s$ un entero positivo, tal que \[a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \ \textrm{ para todo } \ n > s.\] Demuestre que existen enteros positivos $\ell \leq s$ y $N$, tales que \[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ para todo } \ n \geq N.\] Propuesto por Morteza Saghafiyan, Irán Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2011, 8:47 a. m. • 6 Y Y por iarnab_kundu, Ankoganit, tenplusten, abhisruta03, megarnie, Adventure10 Suponga que $f$ y $g$ son dos funciones definidas sobre el conjunto de los enteros positivos y que toman valores enteros positivos. Suponga también que las ecuaciones $f(g(n)) = f(n) + 1$ y $g(f(n)) = g(n) + 1$ se cumplen para todos los enteros positivos. Demuestre que $f(n) = g(n)$ para todo entero positivo $n.$ Propuesto por Alex Schreiber, Alemania Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2011, 8:46 a. m. • 7 Y Y por narutomath96, Davi-8191, almazkaz, megarnie, megahertz13, Adventure10, cubres Denote por $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb{Q}^+ \mapsto \mathbb{Q}^+$ que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x, y \in \mathbb{Q}^+:$ \[f\left( f(x)^2y \right) = x^3 f(xy).\] Propuesto por Thomas Huber, Suiza Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2011, 8:44 a. m. • 7 Y Y por test20, Davi-8191, FaThEr-SqUiRrEl, Aopamy, Adventure10, cubres y otro usuario. Una sucesión $x_1, x_2, \ldots$ está definida por $x_1 = 1$ y $x_{2k}=-x_k, x_{2k-1} = (-1)^{k+1}x_k$ para todo $k \geq 1.$ Demuestre que $\forall n \geq 1$ $x_1 + x_2 + \ldots + x_n \geq 0.$ Propuesto por Gerhard Wöginger, Austria Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2011, 8:42 a. m. • 7 Y Y por Abdek, Davi-8191, Wave-Particle, Mathematicsislovely, centslordm, Aopamy, Adventure10 Sean $x_1, \ldots , x_{100}$ números reales no negativos tales que $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \leq 1$ para todo $i = 1, \ldots , 100$ (definimos $x_{101 } = x_1, x_{102} = x_2).$ Encuentre el valor máximo posible de la suma $S = \sum^{100}_{i=1} x_i x_{i+2}.$ Propuesto por Sergei Berlov, Ilya Bogdanov, Rusia Z K Y