La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Arne 3660 publicaciones Arne #1 h 17 de ago. de 2003, 3:56 a. m. • 11 Y Y por Adventure10, Matherer9654, Mango247, EntropiaAwake, EntropiaAwake, MS_asdfgzxcvb y otros 5 usuarios Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[ \frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \frac{3}{1+abc}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:58 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 La expresión \[ \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \pm \Box \] está escrita en la pizarra. Dos jugadores, $ A $ y $ B $ , juegan un juego, turnándose. El jugador $ A $ toma el primer turno. En cada turno, el jugador en turno reemplaza un símbolo $ \Box $ por un entero positivo. Después de que todos los símbolos $\Box$ son reemplazados, el jugador $A$ reemplaza cada uno de los signos $\pm$ por + o -, independientemente uno del otro. El jugador $ A $ gana si el valor de la expresión en la pizarra no es divisible por ninguno de los números $ 11, 12, \cdots, 18 $ . De lo contrario, el jugador $ B $ gana. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por shenson, 19 de enero de 2022, 9:30 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:58 AM • 1 Y Y por Adventure10 Los números del 1 al $ 2013^2 $ se escriben fila por fila en una tabla que consiste en $ 2013 \times 2013 $ celdas. Después, todas las columnas y todas las filas que contienen al menos uno de los cuadrados perfectos $ 1, 4, 9, \cdots, 2013^2 $ se eliminan simultáneamente. ¿Cuántas celdas quedan? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:57 AM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $K$ un punto dentro de un triángulo acutángulo $ ABC $ , tal que $ BC $ es una tangente común a las circunferencias circunscritas de $ AKB $ y $ AKC$ . Sea $ D $ la intersección de las rectas $ CK $ y $ AB $ , y sea $ E $ la intersección de las rectas $ BK $ y $ AC $ . Sea $ F $ la intersección de la recta $BC$ y la mediatriz del segmento $DE$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ y el círculo $k$ con centro $ F$ y radio $FD$ se cortan en los puntos $P$ y $Q$ . Demuestre que el segmento $PQ$ es un diámetro de $k$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:57 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Construya un triángulo $PQR$ tal que $ AB = 2PQ $, $ BC = 2QR $, $ CA = 2 RP $, y las rectas $ PQ, QR$ y $RP$ pasen por los puntos $ A, B $ y $ C $, respectivamente. (Los seis puntos $ A, B, C, P, Q $ y $ R $ son distintos.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:53 AM • 1 Y Y por Adventure10 Sean $ a$ y $b$ enteros positivos. Demuestre que existen enteros positivos $ x $ y $ y $ tales que \[ \binom{x+y}{2} = ax + by . \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:53 AM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$. Sea $N$ un punto dentro del triángulo tal que $2 \angle ANB = 180 ^\circ + \angle ACB$. Sea $D$ la intersección de la recta $BN$ y la recta paralela a $AN$ que pasa por $C$. Sea $P$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $CAN$ y $ABN$. Demuestre que las rectas $DP$ y $AN$ son perpendiculares. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:52 AM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n$ un entero positivo. En un tablero que consiste en $4n \times 4n$ cuadrados, se colocan exactamente $4n$ fichas de modo que cada fila y cada columna contenga una ficha. En un paso, una ficha se mueve horizontal o verticalmente a un cuadrado vecino. Varias fichas pueden ocupar el mismo cuadrado al mismo tiempo. Las fichas deben moverse para ocupar todos los cuadrados de una de las dos diagonales. Determine el número más pequeño $k(n)$ tal que para cualquier situación inicial, podamos hacerlo en un máximo de $k(n)$ pasos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 17 de mayo de 2014, 3:51 AM • 1 Y Y por Adventure10 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que \[ a+b+c=\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} . \] Demuestre que \[ 2(a+b+c) \ge \sqrt[3]{7 a^2 b +1 } + \sqrt[3]{7 b^2 c +1 } + \sqrt[3]{7 c^2 a +1 } . \] Encuentre todas las ternas $ (a,b,c) $ para las cuales se cumple la igualdad. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. joybangla 836 publicaciones joybangla #1 h 3 de julio de 2014, 6:01 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Se nos da una cerradura de combinación que consta de $6$ discos giratorios. Cada disco consta de los dígitos $0, 1, 2,\ldots , 9$ en ese orden (después del dígito $9$ viene el $0$). La cerradura se abre con exactamente una combinación. Un movimiento consiste en girar uno de los discos un dígito en cualquier dirección y la cerradura se abre instantáneamente si la combinación actual es la correcta. Los discos se colocan inicialmente en la posición $000000$, y sabemos que esta combinación no es la correcta. a) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta? b) ¿Cuál es el número mínimo de movimientos necesarios para asegurar que hemos encontrado la combinación correcta, si sabemos que ninguna de las combinaciones $000000, 111111, 222222, \ldots , 999999$ es correcta? Propuesto por Ognjen Stipetić y Grgur Valentić Z K Y