Sea $A{}$ un punto en el plano cartesiano. En cada paso, Ann le dice a Bob un número $0\leqslant a\leqslant 1$ y él luego mueve $A{}$ en una de las cuatro direcciones cardinales, a su elección, una distancia de $a{}.$ Este proceso continúa mientras Ann lo desee. Entre cada 100 movimientos consecutivos, cada uno de los cuatro movimientos posibles debe haberse realizado al menos una vez. El objetivo de Ann es obligar a Bob a elegir eventualmente un punto a una distancia mayor que 100 de la posición inicial de $A.{}$ ¿Puede Ann alcanzar su objetivo? Seleccionado de una Olimpiada Argentina

Determine la longitud máxima $L$ de una sucesión $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisface las dos propiedades siguientes: todo término de la sucesión es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsucesión consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

Probablemente bajo acuerdo de confidencialidad, no sé, no estoy seguro ~

Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \big(f(x) + f(y)\big) \geqslant \big(f(f(x)) + y\big) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

2 Halle todos los polinomios reales tales que \[p(x+p(x))=p(x)+p(p(x))\] Omid

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Una circunferencia $\Gamma$ es tangente interiormente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Las rectas $AB$ y $AC$ cortan a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos de la recta $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las rectas $MP$ y $NQ$ se cortan en $K$ y cortan a $\Gamma$ de nuevo en $I$ y $J$ , respectivamente. El rayo $KA$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $IJK$ de nuevo en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ . Kian Moshiri, Reino Unido

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ están sobre $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . La recta $CO$ corta a $AB$ en $X$ , y la recta $BO$ corta a $AC$ en $Y$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen un punto de intersección sobre la recta $AO$ . Ivan Chan Kai Chin, Malasia

Una sucesión de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todo entero $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna sucesión kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma sucesión kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consta de un número de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y la $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con su lado cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado superior derecho o en el inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que toda moneda muestre el lado cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia