Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $O$ la matriz $n \times n$ cuyas entradas son todas iguales a $0$. Se eligen dos entradas distintas de la matriz uniformemente al azar, y esas dos entradas se cambian de $0$ a $1$. Llame a la matriz resultante $A$. Determine la probabilidad de que $A^2 = O$, como una función de $n$.

Para cada número real positivo $r$, defina $a_0(r) = 1$ y $a_{n+1}(r) = \lfloor ra_n(r) \rfloor$ para todos los enteros $n \ge 0$. \n(a) Demuestre que para cada número real positivo $r$, el límite \[ L(r) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n(r)}{r^n} \] existe. \n(b) Determine todos los valores posibles de $L(r)$ cuando $r$ varía sobre el conjunto de los números reales positivos. Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$.

Sea $\mathcal{M}$ el conjunto de todas las matrices de $2021 \times 2021$ con a lo más dos entradas en cada fila iguales a $1$ y todas las demás entradas iguales a $0$. Determine el tamaño del conjunto $\{ \det A : A \in M \}$. Aquí $\det A$ denota el determinante de la matriz $A$.

Defina la secuencia de enteros $a_1, a_2, a_3, \ldots$ por $a_1 = 1$, y \[ a_{n+1} = \left(n+1-\gcd(a_n,n) \right) \times a_n \] para todos los enteros $n \ge 1$. Demuestre que $\frac{a_{n+1}}{a_n}=n$ si y solo si $n$ es primo o $n=1$. Aquí $\gcd(s,t)$ denota el máximo común divisor de $s$ y $t$.

Sean $a, b, c$ números reales tales que $a \neq 0$. Considere la parábola con ecuación \[ y = ax^2 + bx + c, \] y las líneas definidas por las seis ecuaciones \begin{align*}&y = ax + b, \quad & y = bx + c, \qquad \quad & y = cx + a, \&y = bx + a, \quad & y = cx + b, \qquad \quad & y = ax + c.\end{align*} Suponga que la parábola interseca cada una de estas líneas en a lo más un punto. Determine los valores máximo y mínimo posibles de $\frac{c}{a}$.

Encontrar todos los enteros positivos $x,y,z$ y $t$ tales que $2^x3^y+5^z=7^t$.

En un tablero hay $n$ clavos, cada dos conectados por una cuerda. Cada cuerda está coloreada en uno de los $n$ colores distintos dados. Para cada tres colores distintos, existen tres clavos conectados con cuerdas de estos tres colores. a) ¿Puede $n$ ser $6$? b) ¿Puede $n$ ser $7$?

Sean los círculos $k_1$ y $k_2$ que se intersectan en dos puntos $A$ y $B$, y sea $t$ una tangente común de $k_1$ y $k_2$ que toca a $k_1$ y $k_2$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $t\perp AM$ y $MN=2AM$, evaluar el ángulo $NMB$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demostrar que \[\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Un palíndromo es un número que es el mismo cuando sus dígitos se invierten. Encuentra todos los números que tienen al menos un múltiplo que es un palíndromo.