Determina los polígonos con $n$ lados $(n \ge 4)$, no necesariamente convexos, que satisfacen la propiedad de que la reflexión de cada vértice del polígono con respecto a cada diagonal del polígono no cae fuera del polígono.\n\t Nota: Cada segmento que une dos vértices no vecinos del polígono es una diagonal. La reflexión se considera con respecto a la línea de soporte de la diagonal.

Considera un rectángulo cuyas longitudes de los lados son números naturales. Si alguien coloca tantos cuadrados como sea posible, cada uno con área $3$, dentro del rectángulo dado, de tal manera que los lados de los cuadrados sean paralelos a los lados del rectángulo, entonces el número máximo de estos cuadrados llena exactamente la mitad del área del rectángulo. Determina las dimensiones de todos los rectángulos con esta propiedad.

Sea $n>3$ un entero positivo. El triángulo equilátero ABC se divide en $n^2$ triángulos equiláteros congruentes más pequeños (con lados paralelos a sus lados). Sea $m$ el número de rombos que contienen dos triángulos equiláteros pequeños y $d$ el número de rombos que contienen ocho triángulos equiláteros pequeños. Encuentra la diferencia $m-d$ en términos de $n$.

Un conjunto $S$ de números naturales se llama 'bueno' si para cada elemento $x \in S$, $x$ no divide la suma de los números restantes en $S$. Encuentra el número máximo posible de elementos de un conjunto 'bueno' que es un subconjunto del conjunto $A = \{1, 2, 3, ..., 63\}$.

En un grupo de $n$ personas, cada una tenía una bola diferente. Realizaron una secuencia de intercambios, en cada intercambio, dos personas intercambiaron la bola que tenían en ese momento. Cada par de personas realizó al menos un intercambio. Al final, cada persona tenía la bola que tenía al principio. Encuentra el menor número posible de intercambios, si: a) $n = 5$, b) $n = 6$.

Podemos cambiar un número natural $n$ de tres maneras: a) Si el número $n$ tiene al menos dos dígitos, borramos el último dígito y restamos ese dígito del número restante (por ejemplo, de $123$ obtenemos $12 - 3 = 9$); b) Si el último dígito es diferente de $0$, podemos cambiar el orden de los dígitos al opuesto (por ejemplo, de $123$ obtenemos $321$); c) Podemos multiplicar el número $n$ por un número del conjunto $ \{1, 2, 3,..., 2010\} $. ¿Podemos obtener el número $21062011$ del número $1012011$?

¿Podemos dividir un triángulo equilátero $\vartriangle ABC$ en $2011$ triángulos pequeños usando $122$ líneas rectas? (debería haber $2011$ triángulos que no estén divididos en partes más pequeñas y no debería haber polígonos que no sean triángulos)

Dentro de un cuadrado cuyo lado tiene longitud $1$ hay algunos círculos tales que la suma de sus circunferencias es igual a $10$. Demuestra que existe una línea que intersecta al menos cuatro de estos círculos.

Sean $x_1,x_2, ..., x_n$ números reales que satisfacen $\sum_{k=1}^{n-1} min(x_k; x_{k+1}) = min(x_1; x_n)$ . Demuestra que $\sum_{k=2}^{n-1} x_k \ge 0$ .

Descifrar la igualdad $(\overline{LARN} -\overline{ACA}) : (\overline{CYP} +\overline{RUS}) = C^{Y^P} \cdot R^{U^S} $ donde diferentes símbolos corresponden a diferentes dígitos y símbolos iguales corresponden a dígitos iguales. También se supone que todos estos dígitos son diferentes de $0$ .