Para cualesquiera números reales positivos $a, b, c, d$ , demuestre la siguiente desigualdad: $$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2+a^2) \geq 64abcd|(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)|$$ Propuesto por Anton Trygub

Mykhailo quiere ordenar todos los enteros positivos del $1$ al $2024$ en un círculo de modo que cada número se use exactamente una vez y que para cualesquiera tres números consecutivos $a, b, c$ el número $a + c$ sea divisible por $b + 1$ . ¿Puede lograrlo? Propuesto por Fedir Yudin

$ABCD$$E$$F$$BC$$AD$$AED$$BCF$$\frac{4}{7}$$ABCD$$R$$ABCD$$\frac{AR}{RC}=\frac{3}{5}$$\frac{BR}{RD}=\frac{5}{6}$$EF$$\frac{AF}{FD}$

Considérense todos los polinomios reales de grado $2023$ : $P(x)=x^{2023}+a_1x^{2022}+a_2x^{2021}+\cdots+a_{2022}x+a_{2023}$ , donde $P(0)+P(1)=0$ , y el polinomio tiene 2023 raíces reales $r_1, r_2,\cdots r_{2023}$ [no necesariamente distintas] tales que $0\leq r_1,r_2,\cdots r_{2023}\leq1$ . ¿Cuál es el valor máximo de $r_1 \cdot r_2 \cdots r_{2023}?$

Igual que 8.4

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en números reales: $$\left\{\begin{array}{l}x^2=y^2+z^2,\\x^{2024}=y^{2024}+z^{2024},\\x^{2025}=y^{2025}+z^{2025}.\end{array}\right.$$ Propuesto por Mykhailo Shtandenko, Anton Trygub, Bogdan Rublov

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AC > AC$ y además sea: $I$ el incentro, $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $A$, $M$ el punto medio de $AD$, $F$ la segunda intersección de la recta $MB$ con la circunferencia circunscrita de $BIC$. Demuestra que $AF$ es perpendicular a $FC$.

Para algún entero positivo $n$ , Katya escribió en la pizarra, uno al lado del otro, los números $2^n$ y $14^n$ (en ese orden), formando así un nuevo número $A$ . ¿Puede el número $A - 1$ ser primo? Propuesto por Oleksii Masalitin

Sean $AH_A, BH_B, CH_C$ las alturas del triángulo $ABC$ . Los puntos $A_1$ y $C_1$ son las proyecciones del punto $H_B$ sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente. $B_1$ es la proyección de $B$ sobre $H_AH_C$ . Demuestre que el diámetro de la circunferencia circunscrita del $\triangle A_1B_1C_1$ es igual a $BH_B$ . Propuesto por Anton Trygub

Se le da un entero positivo $n > 1$ . ¿Cuál es el mayor número posible de enteros que se pueden elegir del conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}$ de modo que para cualesquiera dos enteros elegidos distintos $a, b$ , el valor $a^k + b^k$ no sea divisible por $2^n$ para ningún entero positivo $k$ ? Propuesto por Oleksii Masalitin