C5 Se dice que un conjunto de $n$ rectas está en forma estándar si no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes. ¿Existe un valor de $k$ tal que, dadas cualesquiera $n$ rectas en forma estándar, sea posible colorear las regiones delimitadas por las $n$ rectas usando $k$ colores de manera que dos regiones del mismo color no compartan un punto de intersección común de las $n$ rectas?

C6 Un círculo está dividido en $n$ sectores ( $n \geq 3$ ) . Cada sector puede rellenarse con $1$ o $0$ . Elija cualquier sector $\mathcal{C}$ ocupado por $0$ , cámbielo a $1$ y simultáneamente cambie los símbolos $x, y$ en los dos sectores adyacentes a $\mathcal{C}$ por sus complementos $1-x$ , $1-y$ . Repetimos este proceso mientras exista un cero en algún sector. En la configuración inicial hay un $0$ en un sector y $1$ s en los demás. ¿Para qué valores de $n$ podemos terminar este proceso?

1 Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que \[xP\bigg(\frac{y}{x}\bigg)+yP\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=x+y\] para todos los números reales no nulos $x$ y $y$ .

2 Halle el menor entero $n$ tal que cada subconjunto de $\{1,2,\ldots, 2004\}$ con $n$ elementos tenga dos elementos distintos $a$ y $b$ para los cuales $a^2-b^2$ sea un múltiplo de $2004$ .

3 En un hexágono convexo $ABCDEF$ , los triángulos $ACE$ y $BDF$ tienen el mismo circunradio $R$ . Si el triángulo $ACE$ tiene inradio $r$ , demuestre que \[ \text{Area}(ABCDEF)\le\frac{R}{r}\cdot\text{Area}(ACE).\]

1 ¿Cuántos enteros $n>1$ existen tales que $n$ divide a $x^{13}-x$ para todo entero positivo $x$ ?

2 Una colección de círculos de cartón, cada uno con diámetro de a lo sumo $1$ , se encuentra sobre una mesa de $5\times 8$ sin superponerse ni sobresalir del borde de la mesa. Se agrega a la colección un círculo de cartón de diámetro $2$ . Demuestre que esta nueva colección de círculos de cartón puede colocarse sobre una mesa de $7\times 7$ sin superponerse ni sobresalir del borde.

3 Considere una partición de $\{1,2,\ldots,900\}$ en $30$ subconjuntos $S_1,S_2,\ldots,S_{30}$ cada uno con $30$ elementos. En cada $S_k$ , pintamos de azul el quinto número más grande. ¿Es posible que, para $k=1,2,\ldots,30$ , la suma de los elementos de $S_k$ supere la suma de los números azules?

9.3 Sea $ABC$ un triángulo que satisface $2AC=AB+BC$ . Si $O$ y $I$ son su circuncentro e incentro, demuestre que $\angle OIB=90^{\circ}$ .

6 Cuando una función $f(x)$ se deriva $n$ veces, la función que obtenemos se denota como $f^n(x)$. Si $f(x)=\dfrac {e^x}{x}$. Encuentra el valor de \[\lim_{n \to \infty} \dfrac {f^ {2n}(1)}{(2n)!}\]