Encuentra el menor entero positivo tal que la suma de sus dígitos es $2011$ y el producto de sus dígitos es una potencia de $6$.

Encuentra todos los primos $p$ tales que existen enteros positivos $x,y$ que satisfacen $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$

Resuelve en enteros positivos la ecuación $1005^x + 2011^y = 1006^z$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y puntos $E$ y $F$ en los lados $AB,CD$ tales que $\tfrac{AB}{AE}=\tfrac{CD}{DF}=n$. Si $S$ es el área de $AEFD$ demuestra que ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2}}$

Dentro del cuadrado ${ABCD}$, se construye el triángulo equilátero $\vartriangle ABE$. Sea ${M}$ un punto interior del triángulo $\vartriangle ABE$ tal que $MB=\sqrt{2}$, $MC=\sqrt{6}$, $MD=\sqrt{5}$ y ${ME=\sqrt{3}}$. Encuentra el área del cuadrado ${ABCD}$.

El punto ${D}$ se encuentra en el lado ${BC}$ de $\vartriangle ABC$. Los circuncentros de $\vartriangle ADC$ y $\vartriangle BAD$ son ${O_1}$ y ${O_2}$, respectivamente y ${O_1O_2\parallel AB}$. El ortocentro de $\vartriangle ADC$ es ${H}$ y ${AH=O_1O_2}.$ Encuentra los ángulos de $\vartriangle ABC$ si $2m\left( \angle C \right)=3m\left( \angle B \right).$

Sea $ABC$ un triángulo en el que $BL$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ $\left( L\in AC \right)$, ${AH}$ es una altura de $\vartriangle ABC$ $\left( H\in BC \right)$ y ${M}$ es el punto medio del lado ${AB}$. Se sabe que los puntos medios de los segmentos ${BL}$ y ${MH}$ coinciden. Determina los ángulos internos del triángulo $\vartriangle ABC$.

Sean $AD, BF$ y ${CE}$ las alturas de $\vartriangle ABC$. Una línea que pasa por ${D}$ y es paralela a ${AB}$ intersecta la línea ${EF}$ en el punto ${G}$. Si ${H}$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$, encuentra el ángulo ${\angle{CGH}}$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. En la extensión del lado ${CA}$ consideramos el punto ${D}$ tal que ${AD<AC}$. La bisectriz perpendicular del segmento ${BD}$ se encuentra con las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ en los puntos ${E}$ y ${Z}$, respectivamente. Demuestra que los puntos ${A, E, D, Z}$ son concíclicos.

Decide si es posible considerar $2011$ puntos en un plano tal que la distancia entre cada dos de estos puntos es diferente de $1$ y cada círculo unitario centrado en uno de estos puntos deja exactamente $1005$ puntos fuera del círculo.