Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Demuestra la desigualdad $\sum\frac{2a^2+\frac{1}{a}}{b+\frac{1}{a}+1}\geq 3$

Sea $\displaystyle {x_i> 1, \forall i \in \left \{1, 2, 3, \ldots, 2011 \right \}}$ . Demuestra que: $$\displaystyle{\frac{x^2_1}{x_2-1}+\frac{x^2_2}{x_3-1}+\frac{x^2_3}{x_4-1}+\ldots+\frac{x^2_{2010}}{x_{2011}-1}+\frac{x^2_{2011}}{x_1-1}\geq 8044}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Determine todos los enteros positivos $a,b$ tal que $a^{2}b^{2}+208=4([a,b]+(a,b))^2$ donde $[a,b]$ - mcm de $a,b$ y $(a,b)$ - mcd de $a,b$ .

Encuentra todos los primos $p,q$ tales que $2p^3-q^2=2(p+q)^2$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $y^2 + xy + 3x = n(x^2 + xy + 3y)$ tiene al menos una solución $(x, y)$ en enteros positivos.

Sean $x, y, z$ números reales positivos. Demuestra que: $\frac{x + 2y}{z + 2x + 3y}+\frac{y + 2z}{x + 2y + 3z}+\frac{z + 2x}{y + 2z + 3x} \le \frac{3}{2}$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc = 1$. Demuestra que: $\displaystyle\prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)$

Considere la secuencia $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3.4,5,6\}$, y para $n \ge 7$ :\n\n$$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$\n\ndonde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual que $x$. Por ejemplo : ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$.\n\nPara todos los enteros $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_1,...,a_n\}- \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la ''quítelo si está allí'' notación. Por ejemplo : $S_4 = {2,3,4}$ porque $r_4= 1$ así que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo $S_5= \{1,2,3,4,5\}$ betawe $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$.\n\n1. Determine $S_7,S_8,S_9$ y $S_{10}$.\n\n2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien balanceado si se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos por pares con la misma suma. Por ejemplo : $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} =\{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 +6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Pruebe que $S_7,S_8,S_9$ y $S_{10}$ están bien balanceados.\n\n3. ¿Está bien balanceado el conjunto $S_{2019}$? Justifique su respuesta.

Considere el conjunto $S = \{1,2,3, ...,1441\}$.\n\n1. Nora cuenta aquellos subconjuntos de $S$ que tienen exactamente dos elementos, cuya suma es par. Rania cuenta aquellos subconjuntos de $S$ que tienen exactamente dos elementos, cuya suma es impar. Determine los números contados por Nora y Rania.\n\n2. Sea $t$ el número de subconjuntos de $S$ que tienen al menos dos elementos y el producto de los elementos es par. Determine la mayor potencia de $2$ que divide a $t$.\n\n3. Ahmad cuenta los subconjuntos de $S$ que tienen $77$ elementos tales que en cada subconjunto la suma de los elementos es par. Bushra cuenta los subconjuntos de $S$ que tienen $77$ elementos tales que en cada subconjunto la suma de los elementos es impar. ¿De quién es el número más grande? Determine la diferencia entre los números encontrados por Ahmad y Bushra.

1. Encuentre $N$, el múltiplo positivo más pequeño de $45$ tal que todos sus dígitos son $7$ o $0$.\n\n2. Encuentre $M$, el múltiplo positivo más pequeño de $32$ tal que todos sus dígitos son $6$ o $1$.\n\n3. ¿Cuántos elementos del conjunto $\{1,2,3,...,1441\}$ tienen un múltiplo positivo tal que todos sus dígitos son $5$ o $2$?