2 En un tablero cuadrado $8 \times 8$ , cada casilla unitaria está coloreada de negro o de blanco. En un movimiento, se puede seleccionar en el tablero cualquier «esquina» rotada de tres casillas, "corner" https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/5/f210cd0d7ed2b2122a8e830b09afb4d94cdaf1.png y volver a pintar cada una de sus casillas (negro a blanco y blanco a negro). ¿Es posible pintar todas las casillas de blanco después de un número finito de movimientos?

3 Una circunferencia está circunscrita alrededor de un triángulo $ABC$ . El punto $M$ es el punto medio del arco $AC$ (que no incluye al vértice $B$ ) , y $N$ es el punto medio del arco $AB$ (que no incluye al vértice $C$ ) . Los segmentos $MN$ y $AB$ se intersecan en el punto $K$ . El centro de la circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es $O$ . Demuestre que $KO$ es paralela al lado $AC$ .

4 La sucesión de números $a_0, a_1, a_2, ...$ está definida por las condiciones $a_0 = 1$ y $$a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_{n+1}+a_n}, \,\,\, for \,\,\,n \ge0$$ . Demuestre que tal sucesión es única y halle la dependencia de $a_n$ respecto de $n$ .

1 En cada casilla de una tabla cuadrada $n\times n$ se escribe $1$ o $-1$ . Sea $a_i$ el producto de los números de la $i$ -ésima fila, y $b_j$ el producto de los números de la $j$ -ésima columna. ¿Es posible llenar la tabla de tal manera que la suma $$a_1 +a_2 +...+a_i+ ...+a_n+b_1+b_2+...+b_j+...+b_n$$ sea igual a cero cuando a) $n =10$ ? b) $n =9$ ?

2 Las longitudes de las dos bisectrices de un triángulo isósceles son $\sqrt{1-2^{-2004}}$ y $2-2^{-2004}$ . Halle la longitud de la tercera bisectriz.

3 Una sucesión infinita de números reales $a_n$ ( $n\in N$ ) satisface la condición $$a_{k^2+m^2} = a^2_k + a^2_m \,\,\, (k\in N, m \in N)$$ (así, por ejemplo, $a_{10} = a_{1^2+3^2} = a^2_1 + a^2 _3$ ) . ¿Puede o no el primer término $a_1$ de tal sucesión ser igual al número: a) $0$ ? b) $1$ ? c ) $ -1$ ? d) $1/3$ ? e) $-1/3$ ?

4 Todos los ángulos de un nonadecágono dado (polígono de 19 lados) son múltiplos de $10^o$ . Demuestre que el nonadecágono tiene al menos un par de lados paralelos.

1 Un número natural es tal que los números $2n+1$ y $3n+1$ son cuadrados de enteros. a) Demuestre que es divisible por $8$ . b) ¿Es necesariamente divisible por $16$ ?

2 Se tiene un sistema de ecuaciones: $$\begin{cases}x_1^2+\dfrac{1}{x_2^2}=4, \\ x_2^2+\dfrac{1}{x_3^2}=1\\ ............ \\ x_{2n-1}^2+\dfrac{1}{x_{2n}^2}=4,\\ x_{2n}^2+\dfrac{1}{x_1^2}=1\end{cases} $$ a) Sea $n = 2$ . Halle al menos 3 soluciones del sistema. b) Sea $n = 2$ . Halle todas las soluciones. c) Resuelva el sistema para cada número natural $n$ .

3 Tres de los ángulos de un heptágono convexo inscrito en una circunferencia son iguales a $120^o$ . Demuestre que al menos dos de sus lados tienen longitudes iguales.