Sean $\Gamma$ e $I$ el circuncirculo y el incentro de un triángulo acutangulo $ABC$. Dos circunferencias $\omega_B$ y $\omega_C$ que pasan por $B$ y $C$, respectivamente, son tangentes en $I$. $\omega_B$ corta al arco menor $AB$ de $\Gamma$ y al segmento $AB$ otra vez en los puntos $P$ y $M$, respectivamente. Similarmente, $\omega_C$ corta al arco menor $AC$ de $\Gamma$ y al segmento $AC$ otra vez en los puntos $Q$ y $N$, respectivamente. Los rayos $PM$ y $QN$ se intersecan en $X$, y las tangentes a $\omega_B$ y $\omega_C$ en $B$ y $C$, respectivamente, se intersecan en $Y$. Demuestra que los puntos $A$, $X$ y $Y$ son colineales.

Sea $P$ un punto en el circuncirculo de un triángulo acutangulo $ABC$. Sean $D$, $E$ y $F$ las reflexiones de $P$ por las lineas que unen los puntos medios de los lados de $ABC$, haciendolo para las lineas que son paralelas a $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Denotamos por $\omega_A$, $\omega_B$ y $\omega_C$ los circuncirculos de los triángulos $ADP$, $BEP$ y $CFP$, respectivamente. Denotamos por $\omega$ el circuncirculo del triángulo formado por las mediatrices de los segmentos $AD$, $BE$ y $CF$. Demuestra que $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ y $\omega$ tienen un punto común.

Sean $I$ y $I_A$ el incentro y el excentro $A$-excentro de un triángulo acutangulo $ABC$ con $AB < AC$. El incirculo es tangente a $BC$ en $D$. La recta $AD$ interseca a $BI_A$ y $CI_A$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AID$ y $I_AEF$ son tangentes entre sí.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico sin lados paralelos. Sean $K$, $L$, $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente, de tal manera que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ y $\omega_4$ los incírculos de los triángulos $ANK$, $BKL$, $CLM$ y $DMN$, respectivamente. Demuestra que las tangentes internas comunes a $\omega_1$ y $\omega_3$ y las tangentes internas comunes a $\omega_2$ y $\omega_4$ son concurrentes.

En el plano, hay $n \geq 6$ discos disjuntos $D_1, D_2, \ldots, D_n$ con radios $R_1 \geq R_2 \geq \ldots \geq R_n$. Para cada $i = 1, 2, \ldots, n$, se elige un punto $P_i$ en el disco $D_i$. Sea $O$ un punto arbitrario en el plano. Demuestra que \[ OP_1 + OP_2 + \ldots + OP_n \geq R_6 + R_7 + \ldots + R_n. \] (Se asume que un disco contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC > 90^\circ$, $\angle CDA > 90^\circ$ y $\angle DAB = \angle BCD$. Denotamos por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ en las rectas $BC$ y $CD$, respectivamente. Supongamos que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Supongamos que $P$ es un punto en el interior de $ABCD$ tal que \[ \angle PAD : \angle PBA : \angle DPA = 1 : 2 : 3 = \angle CBP : \angle BAP : \angle BPC. \] Las bisectrices internas de los ángulos $ADP$ y $PCB$ se cortan en un punto $Q$ dentro del triángulo $ABP$. Demuestra que $AQ = BQ$.

Sea $ABC$ un triangulo isosceles con $BC=BA$, y sea $D$ un punto en el segmento $AB$ tal que $AD<AB$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en los segmentos $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $\angle DPB=\angle DQA=90^\circ$. La mediatriz de $PQ$ interseca a $CQ$ en $E$ y los circuncirculos de $ABC$ y $CPQ$ se cortan otra vez en $F\neq C$. Supongamos que $P,E,F$ son colineales. Demuestra que $\angle ACB=90^\circ$.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en un pizarrón que inicialmente contiene $2020$ copias del número $1$. En cada ronda, el jugador $A$ borra dos números $x$ e $y$ del pizarrón, y luego el jugador $B$ escribe uno de los números $x + y$ y $|x - y|$ en el pizarrón. El juego termina tan pronto como, al final de alguna ronda, se cumple una de las siguientes condiciones: - Uno de los números en el pizarrón es mayor que la suma de todos los demás números. - Solo hay ceros en el pizarrón. Luego, el jugador $B$ debe dar tantas galletas al jugador $A$ como números hay en el pizarrón. El jugador $A$ desea obtener tantas galletas como sea posible, mientras que el jugador $B$ desea dar lo menos posible. Determina la cantidad de galletas que el jugador $A$ recibirá si ambos jugadores juegan de manera óptima.

Considera una mesa rectangular con un numero finito de filas y columnas, con un número real $a_{r,c}$ en la celda de la fila $r$ y columna $c$. Una pareja $(R,C)$, donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se llama par de monte si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1. Para cada fila $r'$, existe una fila $r \in R$ tal que $a_{r,c} \geq a_{r',c}$ para todo $c \in C$. 2. Para cada columna $c'$, existe una columna $c \in C$ tal que $a_{r,c} \leq a_{r,c'}$ para todo $r \in R$. Un par de monte $(R,C)$ se llama par minimal si para cada par de silla $(R',C')$ con $R' \subseteq R$ y $C' \subseteq C$, se tiene $R' = R$ y $C' = C$. Demuestra que todos los pares minimales tienen el mismo número de filas.