Sea $X$ un conjunto finito, y $f : X \rightarrow X$. Supongamos que existe un primo $p$ tal que $f^p(x) = x$ para todo $x \in X$. Sea $Y = \{x \in X \,|\, f(x) \neq x\}$. Demuestra que $p \mid |Y|$.

En cada celda de un tablero de ajedrez con 2 filas y 2019 columnas se escribe un número real de tal manera que:\n• No hay dos números escritos en la primera fila que sean iguales entre sí.\n• Los números escritos en la segunda fila coinciden (en algún orden) con los números escritos en la primera fila.\n• Los dos números escritos en cada columna son diferentes y su suma es un número racional.\nDetermina la cantidad máxima de números irracionales que pueden estar en el tablero.

Sea $S$ un conjunto de $n \geq 3$ enteros positivos, donde ninguno de ellos es la suma de otros dos elementos distintos de $S$. Demuestra que los elementos de $S$ se pueden ordenar como $a_1,a_2,\ldots, a_n$ de manera que $a_i$ no divide a $a_{i-1}+a_{i+1}$ para todo $i=2,3\ldots, n-1$.

Para un entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$, y sea $\varphi(n)$ el número de enteros positivos no mayores que $n$ que son coprimos con $n$. ¿Existe una constante $C$ tal que \[ \frac{\varphi(d(n))}{d(\varphi(n))} \leq C \] para todo $n \geq 1$?

Determina todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de todos los enteros positivos y tomando valores enteros no negativos, que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) Para al menos un valor de $n$, $f(n) \neq 0$. (ii) $f(xy) = f(x) + f(y)$ para todos los enteros positivos $x$ e $y$. (iii) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(k) = f(n-k)$ para todo $k < n$.

Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n$, sea $d_p(n)$ el residuo cuando $n$ se divide por $p$. Decimos que $a_0, a_1, a_2, \ldots$ es una $p$-secuencia si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p$, y $a_{n+1} = a_n + d_p(a_n)$ para $n \geq 0$. (a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$-secuencias $a_0, a_1, a_2, \ldots$ y $b_0, b_1, b_2, \ldots$ tal que $a_n > b_n$ para infinitos valores de $n$, y $b_n > a_n$ para infinitos valores de $n$? (b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$-secuencias $a_0, a_1, a_2, \ldots$ y $b_0, b_1, b_2, \ldots$ tal que $a_0 < b_0$, pero $a_n > b_n$ para todo $n \geq 1$?

Sea $n\geq 2$ un entero. ¿Existe una secuencia $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de enteros positivos, no todos iguales, tal que la media aritmética de cualquier par de términos sea igual a la media geométrica de algunos (uno o más) términos en esta secuencia?

Para cada primo $p$, existe un reino llamado $p$-Landia que consiste en $p$ islas numeradas $1, \ldots, p$. Dos islas distintas numeradas $n$ y $m$ están conectadas por un puente si y solo si $p$ divide a $(n^2- m + 1)(m^2-n+1)$. Los puentes pueden cruzarse entre sí, pero no pueden cruzarse. Demuestra que para infinitos valores de $p$ hay dos islas en $p$-Landia que no están conectadas por una cadena de puentes.

Dado un entero positivo $k$, demuestra que existe un número primo $p$ tal que se pueden elegir enteros distintos $a_1, a_2, \ldots, a_{k+3}$ de entre $\{1, 2, \ldots, p-1\}$ de manera que $p$ divide a $a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3} - i$ para todo $i = 1, 2, \ldots, k$.

Demuestra que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Supongamos que $n$ es un entero con $n \geq 2$, y sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos distintos en $S$ es al menos $1$. Entonces, existe una recta $\ell$ que separa $S$ de tal manera que la distancia de cualquier punto de $S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$. (Se dice que una recta $\ell$ separa un conjunto de puntos $S$ si algún segmento que une dos puntos en $S$ corta a $\ell$.)