B4 Problema. Sea $f:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ una función definida como $$f(n)=n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor~\forall~n\in\mathbb{R}_0^+.$$ Demuestra que para cualquier entero positivo $m,$ la sucesión $$m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))),\ldots$$ contiene un cuadrado perfecto.

En cada casilla de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$ hay inicialmente un árbol de altura $0$ . Un jardinero y un leñador juegan por turnos el siguiente juego, comenzando el jardinero: El jardinero elige una casilla del jardín. Cada árbol en esa casilla y en todas las casillas circundantes (que son a lo sumo ocho) crece entonces una unidad. El leñador elige entonces cuatro casillas diferentes del tablero. Cada árbol de altura positiva en esas casillas decrece entonces una unidad. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$ . Determine el mayor $K$ tal que el jardinero puede asegurar que eventualmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador. ike.chen

B5 Sea $\lVert u\rVert$ la distancia del número real $u$ al entero más cercano. Para enteros positivos $n$, sea $$ a_n=\frac1n\int^n_1\left\lVert\frac nx\right\rVert dx. $$ Determina $\lim_{n\to\infty}a_n$.

B6 Sea $ k$ un entero positivo, sea $ m=2^k+1$ , y sea $ r\neq 1$ una raíz compleja de $ z^m-1=0$ . Demuestra que existen polinomios $ P(z)$ y $ Q(z)$ con coeficientes enteros tales que $ (P(r))^2+(Q(r))^2=-1$ .

A1 Sea $V$ la región en el plano cartesiano que consiste en todos los puntos $(x,y)$ que satisfacen las condiciones simultáneas $$|x|\le y\le|x|+3\text{ y }y\le4.$$ Encuentra el centroide de $V$.

Para números reales positivos $x$, sea $$B_n(x)=1^x+2^x+\ldots+n^x.$$ Demuestra o refuta la convergencia de $$\sum_{n=2}^\infty\frac{B_n(\log_n2)}{(n\log_2n)^2}.$$

A3 Evalúa $$\int^\infty_0\frac{\operatorname{arctan}(\pi x)-\operatorname{arctan}(x)}xdx.$$

A4 Supón que el sistema de ecuaciones diferenciales $y'=-z^3$ , $z'=y^3$ con las condiciones iniciales $y(0)=1$ , $z(0)=0$ tiene una solución única $y=f(x)$ , $z=g(x)$ definida para todo $x$ real. Demuestra que existe una constante positiva $L$ tal que para todo $x$ real, $$f(x+L)=f(x),\enspace g(x+L)=g(x).$$

A5 Sean $a, b, c, d$ enteros positivos, y $r=1-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}$. Además, $a+c \le 1982$, $r \ge 0$. Demuestra que $r>\frac{1}{1983^3}$.

A6 Sea $\sigma$ una biyección sobre los enteros positivos. Sea $x_1,x_2,x_3,\ldots$ una sucesión de números reales con las siguientes tres propiedades: $(\text i)$ $|x_n|$ es una función estrictamente decreciente de $n$ ; $(\text{ii})$ $|\sigma(n)-n|\cdot|x_n|\to0$ cuando $n\to\infty$ ; $(\text{iii})$ $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nx_k=1$ . Demuestra o refuta que estas condiciones implican que $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nx_{\sigma(k)}=1.$$