Probar que en un plano euclidiano hay infinitos círculos concéntricos $C$ tales que todos los triángulos inscritos en $C$ tienen al menos un lado irracional.

Se da un pentágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5$ con longitud de lado $s$. En cada punto $A_i$, se construye una esfera $K_i$ de radio $\frac{s}{2}$. Hay dos esferas $K_1$ y $K_2$, cada una de radio $\frac{s}{2}$, que tocan a todas las cinco esferas $K_i$. Decidir si $K_1$ y $K_2$ se intersecan, se tocan o no tienen puntos en común.

Hallar el mayor número real positivo $p$ (si existe) tal que la desigualdad \[x^2_1+ x_2^2+ \cdots + x^2_n\ge p(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n)\] se cumple para todos los números reales $x_i$, y $(a) n = 2; (b) n = 5.$ Hallar el mayor número real positivo $p$ (si existe) tal que la desigualdad se cumple para todos los números reales $x_i$ y todos los números naturales $n, n \ge 2.$

Sea $(a_n), n = 0, 1, . . .,$ una secuencia de números reales tal que $a_0 = 0$ y \n\[a^3_{n+1} = \frac{1}{2} a^2_n -1, n= 0, 1,\cdots\] Demuestra que existe un número positivo $q, q < 1$ , tal que para todos los $n = 1, 2, \ldots ,$ \n\[|a_{n+1} - a_n| \leq q|a_n - a_{n-1}|,\] y da un tal $q$ explícitamente.

Para un entero positivo $n$ , sea $6^{(n)}$ el número natural cuya representación decimal consiste en $n$ dígitos $6$ . Definamos, para todos los números naturales $m$ , $k$ con $1 \leq k \leq m$ \n\[\left[\begin{array}{ccc}m\\ k\end{array}\right] =\frac{ 6^{(m)} 6^{(m-1)}\cdots 6^{(m-k+1)}}{6^{(1)} 6^{(2)}\cdots 6^{(k)}} .\] Demuestra que para todos los $m, k$ , $ \left[\begin{array}{ccc}m\\ k\end{array}\right] $ es un número natural cuya representación decimal consiste en exactamente $k(m + k - 1) - 1$ dígitos.

Demuestra que el número $19^{1976} + 76^{1976}$ : $(a)$ es divisible por el número primo de (Fermat) $F_4 = 2^{2^4} + 1$ ; $(b)$ es divisible por al menos cuatro primos distintos además de $F_4$ .

Demuestra que existe un poliedro convexo con todos sus vértices en la superficie de una esfera y con todas sus caras triángulos isósceles congruentes cuya razón de lados es $\sqrt{3} :\sqrt{3} :2$ .

Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que la representación decimal de $7^n$ contiene un bloque de al menos $m$ ceros consecutivos, donde $m$ es cualquier entero positivo dado.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos coplanares cualesquiera. Sea $L$ un punto tal que $AL || BC, A'L || B'C'$ , y $M,N$ se definen de manera similar. La línea $BC$ se encuentra con $B'C'$ en $P$ , y de manera similar se definen $Q$ y $R$ . Pruebe que $PL, QM, RN$ son concurrentes.

Una secuencia $\{ u_n \}$ de enteros se define por \[u_1 = 2, u_2 = u_3 = 7,\] \[u_{n+1} = u_nu_{n-1} - u_{n-2}, \text{ for }n \geq 3\] Pruebe que para cada $n \geq 1$ , $u_n$ difiere en $2$ de un cuadrado integral.