15 Halle el número de 7-tuplas ordenadas $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ que satisfacen las siguientes propiedades: $a_k \in \{1,2,3\}$ para todo $k.$ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$ es múltiplo de $3.$ $a_1a_2 a_4 + a_2a_3a_5 + a_3a_4 a_6 + a_4 a_5 a_7 + a_5 a_6 a_1 + a_6 a_7 a_2 + a_7 a_1 a_3$ es múltiplo de $3.$

Gandalf (el mago) y Bilbo (el asistente) presentan un truco de magia a Nitzan (el público). Mientras Gandalf sale de la sala, Nitzan elige un número $1\leq x\leq 2^{2022}$ y se lo muestra a Bilbo. Entonces Bilbo escribe en la pizarra una larga fila de $N$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$ . Después de esto, Nitzan puede, si lo desea, intercambiar el orden de dos dígitos consecutivos de la fila, pero solo una vez. Luego Gandalf regresa a la sala, mira la fila y adivina el número $x$ . ¿Pueden Bilbo y Gandalf idear una estrategia que permita a Gandalf adivinar $x$ correctamente sin importar cómo actúe Nitzan, si a) $N=2500$ ? b) $N=2030$ ? c) $N=2040$ ?

Sophie escribió en un trozo de papel todos los números enteros del 1 al 1000 en notación decimal (incluyendo ambos extremos). a) ¿Qué dígito escribió Sophie con mayor frecuencia? b) ¿Qué dígito escribió Sophie con menor frecuencia?

¿Existe una sucesión infinita de primos $p_1, p_2, p_3, \dots $ para la cual, \[p_{n+1}=2p_n+1\] para cada $n$ ?

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $X$ el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC$ . Sea $Y$ el segundo punto de intersección del segmento $AX$ con la circunferencia inscrita. Demuestre que \[AX+AY+BC>AB+AC\]

A Danny le gustan los números de siete cifras con la siguiente propiedad: la cifra de las unidades es divisible por la cifra de las decenas, la cifra de las decenas es divisible por la cifra de las centenas, y así sucesivamente. Por ejemplo, a Danny le gusta el número $1133366$ pero no le gusta $9999993$ . ¿Es la cantidad de números que le gustan a Danny divisible por $7$ ?

Resuelva la siguiente ecuación en números positivos. $$(2a+1)(2a^2+2a+1)(2a^4+4a^3+6a^2+4a+1)=828567056280801$$

21 jugadores participaron en un torneo de tenis, en el que cada pareja de jugadores jugó exactamente una vez y cada partido tuvo un ganador (no se permiten empates). Los organizadores del torneo comprobaron que cada jugador ganó al menos 9 partidos y perdió al menos 9. Además, descubrieron casos de tres jugadores $A,B,C$ en los que $A$ le ganó a $B$ , $B$ le ganó a $C$ y $C$ le ganó a $A$ , y llamaron a tales ternas «problemáticas». a) ¿Cuál es el número máximo posible de ternas problemáticas? b) ¿Cuál es el número mínimo posible de ternas problemáticas?

Se da un triángulo $ABC$ . La circunferencia $\omega$ con centro $I$ es tangente en los puntos $D,E,F$ a los segmentos $BC,AC,AB$ respectivamente. Cuando $ABC$ se rota $180$ grados alrededor del punto $I$ , se obtiene el triángulo $A'B'C'$ . Las rectas $AD, B'C'$ se cortan en $U$ , las rectas $BE, A'C'$ se cortan en $V$ , y las rectas $CF, A'B'$ se cortan en $W$ . La recta $BC$ corta a $A'C', A'B'$ en los puntos $D_1, D_2$ respectivamente. La recta $AC$ corta a $A'B', B'C'$ en los puntos $E_1, E_2$ respectivamente. La recta $AB$ corta a $B'C', A'C'$ en los puntos $F_1,F_2$ respectivamente. Seis cuadriláteros (no necesariamente convexos) se colorearon de naranja: \[AUIF_2 , C'FIF_2 , BVID_1 , A'DID_2 , CWIE_1 , B'EIE_2\] Otros seis cuadriláteros se colorearon de verde: \[AUIE_2 , C'FIF_1 , BVIF_2 , A'DID_1 , CWID_2 , B'EIE_1\] Demuestre que la suma de las áreas verdes es igual a la suma de las áreas naranjas.

1 Se dan siete monedas de aspecto idéntico, de las cuales cuatro son auténticas y tres son falsas. Las tres monedas falsas tienen el mismo peso, y las cuatro monedas auténticas tienen el mismo peso. Se sabe que una moneda falsa pesa menos que una auténtica. En una pesada, se pueden seleccionar dos conjuntos de monedas y comprobar qué conjunto tiene menor peso total, o si tienen pesos iguales. ¿Cuántas pesadas se necesitan para identificar una moneda falsa?