Una secuencia $(u_{n})$ se define por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{for } n=1,\ldots \] Pruebe que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el entero más pequeño $\leq x)$

Cinco puntos se encuentran en la superficie de una bola de radio unitario. Encuentre el máximo de la distancia más pequeña entre dos de ellos.

Sean $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Pruebe que para cualquier entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

Demuestre que el recíproco de cualquier número de la forma $2(m^2+m+1)$, donde $m$ es un entero positivo, puede representarse como una suma de términos consecutivos en la secuencia $(a_j)_{j=1}^{\infty}$\n\[ a_j = \frac{1}{j(j + 1)(j + 2)}\]

Encuentre todas las soluciones (reales) del sistema\n\[3x_1-x_2-x_3-x_5 = 0,\]\n\[-x_1+3x_2-x_4-x_6= 0,\]\n\[-x_1 + 3x_3 - x_4 - x_7 = 0,\]\n\[-x_2 - x_3 + 3x_4 - x_8 = 0,\]\n\[-x_1 + 3x_5 - x_6 - x_7 = 0,\]\n\[-x_2 - x_5 + 3x_6 - x_8 = 0,\]\n\[-x_3 - x_5 + 3x_7 - x_8 = 0,\]\n\[-x_4 - x_6 - x_7 + 3x_8 = 0.\]

En un cuadrilátero convexo (en el plano) con un área de $32 \text{ cm}^{2}$, la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$. Determine todos los valores posibles que la otra diagonal puede tener.

Sea $P$ un punto fijo y $T$ un triángulo dado que contiene el punto $P$. Traslade el triángulo $T$ por un vector dado $\bold{v}$ y denote por $T'$ este nuevo triángulo. Sean $r, R$, respectivamente, los radios de los discos más pequeños centrados en $P$ que contienen los triángulos $T, T'$, respectivamente. Demuestre que $r + |\bold{v}| \leq 3R$ y encuentre un ejemplo para mostrar que la igualdad puede ocurrir.

Para cada punto $X$ de un politopo dado, denote por $f(X)$ la suma de las distancias del punto $X$ a todos los planos de las caras del politopo. Demuestre que si $f$ alcanza su máximo en un punto interior del politopo, entonces $f$ es constante.

Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el que cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestra que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

Determine el mayor número, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$