En el triángulo rectángulo \( \triangle ABC\) con hipotenusa \( \overline{AB}\), se tiene \( AC = 12\), \( BC = 35\), y \( \overline{CD}\) es la altura trazada hacia \( \overline{AB}\). Sea \( \omega\) el círculo que tiene a \( \overline{CD}\) como diámetro. Sea \( I\) un punto fuera de \( \triangle ABC\) tal que \( \overline{AI}\) y \( \overline{BI}\) son ambas tangentes al círculo \( \omega\). La razón del perímetro de \( \triangle ABI\) a la longitud \( AB\) se puede expresar en la forma \( \displaystyle\frac{m}{n}\), donde \( m\) y \( n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \( m+n\).