9 En el plano, considera un punto \( X \) y un polígono \( \mathcal{F} \) (que no es necesariamente convexo). Sea \( p \) el perímetro de \( \mathcal{F} \), sea \( d \) la suma de las distancias desde el punto \( X \) a los vértices de \( \mathcal{F} \), y sea \( h \) la suma de las distancias desde el punto \( X \) a los lados de \( \mathcal{F} \). Demuestra que \( d^2 - h^2\geq\frac {p^2}{4}. \)

Se nos da un entero positivo \( r \) y un tablero rectangular \( ABCD \) con dimensiones \( AB = 20, BC = 12 \). El rectángulo se divide en una cuadrícula de \( 20 \times 12 \) cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es \( \sqrt{r} \). La tarea es encontrar una secuencia de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a \( A \) como vértice hasta el cuadrado que tiene a \( B \) como vértice. (a) Muestra que la tarea no puede realizarse si \( r \) es divisible por 2 o por 3. (b) Demuestra que la tarea es posible cuando \( r = 73 \). (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando \( r = 97 \)?

2 Un cuadrado de $(n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $(n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera usual. Cada uno de los $n^2$ vértices de estos cuadrados debe colorearse de rojo o azul. Encuentra el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas.)

3 Sean $k,m,n$ enteros tales que $1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determina el tamaño máximo de un subconjunto $S$ del conjunto $\{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que ningún $n$ elementos distintos de $S$ sumen $m.$

4 Determina si existen o no dos conjuntos infinitos y disjuntos $ A$ y $ B$ de puntos en el plano que satisfagan las siguientes condiciones: a.) No hay tres puntos en $ A \cup B$ que sean colineales, y la distancia entre cualesquiera dos puntos en $ A \cup B$ es al menos 1. b.) Hay un punto de $ A$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ B,$ y hay un punto de $ B$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ A.$

5. Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ -ada de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestra que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

6 Se coloca un número finito de monedas en una fila infinita de casillas. Se realiza una secuencia de movimientos de la siguiente manera: en cada etapa se elige una casilla que contenga más de una moneda. Se toman dos monedas de esta casilla; una de ellas se coloca en la casilla inmediatamente a la izquierda, mientras que la otra se coloca en la casilla inmediatamente a la derecha de la casilla elegida. La secuencia termina si en algún momento hay a lo sumo una moneda en cada casilla. Dada una configuración inicial, muestra que cualquier secuencia legal de movimientos terminará después del mismo número de pasos y con la misma configuración final.

7. Sea \( V \) un conjunto finito y \( g \) y \( f \) dos funciones inyectivas y sobreyectivas de \( V \) a \( V \). Sean \( T \) y \( S \) dos conjuntos definidos de la siguiente manera: \( S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\} \) y \( T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\} \). Sabemos que \( S \cup T = V \). Demuestra que para cada \( w \in V \), \( f(w) \in S \) si y solo si \( g(w) \in S \).

1. Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo con \(AB\neq AC\). El círculo con diámetro \(BC\) interseca los lados \(AB\) y \(AC\) en \(M\) y \(N\), respectivamente. Denotemos por \(O\) el punto medio del lado \(BC\). Las bisectrices de los ángulos \(\angle BAC\) y \(\angle MON\) se intersecan en \(R\). Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos \(BMR\) y \(CNR\) tienen un punto común que se encuentra sobre el lado \(BC\). Valentin

2 Encuentra todos los polinomios \(f\) con coeficientes reales tales que para todos los reales \(a,b,c\) que cumplen \(ab+bc+ca = 0\) se tiene la siguiente relación \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \] Valentin