Considera un $2n + 1$ - gono regular $P$ en el plano, donde n es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Queremos colorear los lados de $P$ en $3$ colores, de tal manera que cada lado esté coloreado en exactamente un color, y cada color debe usarse al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver como máximo $2$ colores diferentes en $P$ (ignore los vértices de $P$, los consideramos incoloros). Encuentra el entero positivo más grande para el cual tal coloración es posible.

Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$ .Demuestra que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $a\le b\le c \le d$ demuestra que: $$ab^3+bc^3+cd^3+da^3\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2$$

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $3a^2 + 2b^2 = 3a + 2b$ . Encuentra el valor mínimo de $A =\sqrt{\frac{a}{b(3a+2)}} + \sqrt{\frac{b}{a(2b+3)}} $

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7$ . Demuestra que $\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 } + \sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6$ .

Sea $p$ un número primo fijo. Encontrar todos los enteros $n \ge 1$ con la siguiente propiedad: Se puede particionar los divisores positivos de $n$ en parejas $(d,d')$ satisfaciendo $d<d'$ y $p \mid \left\lfloor \frac{d'}{d}\right\rfloor$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. La altura desde $A$ interseca a $\omega$ en un punto $D \ne A$ y el segmento $AC$ interseca el circuncírculo de $OCD$ en un punto $E \ne C$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio de $BE$ . Demostrar que $DE$ es paralelo a $OM$ .

Dado un entero positivo $n \ge 2$ , sean $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ dos conjuntos, cada uno consistente en $n$ puntos en el espacio tridimensional. Suponga que estos $2n$ puntos son distintos. Demostrar que es posible etiquetar los puntos de $\mathcal{P}$ como $P_1,P_2,\dots,P_n$ y los puntos de $\mathcal{Q}$ como $Q_1,Q_2,\dots,Q_n$ tal que para cualquier índice $i$ y $j$ , las bolas de diámetros $P_iQ_i$ y $P_jQ_j$ tienen al menos un punto en común.

Sean $d$ y $m$ dos enteros positivos fijos. Pinocho y Geppetto conocen los valores de $d$ y $m$ y juegan el siguiente juego: Al principio, Pinocho elige un polinomio $P$ de grado como máximo $d$ con coeficientes enteros. Luego Geppetto le hace preguntas de la siguiente forma '¿Cuál es el valor de $P(n)$ ?' para $n \in \mathbb{Z}$ . Pinocho normalmente dice la verdad, pero puede mentir hasta $m$ veces. ¿Cuál es, como función de $d$ y $m$ , el número mínimo de preguntas que Geppetto necesita hacer para asegurarse de determinar $P$ , sin importar cómo Pinocho elija responder?

Encontrar todos los enteros $n \ge 2$ para los cuales existen $n$ enteros $a_1,a_2,\dots,a_n \ge 2$ tales que para todos los índices $i \ne j$ , tenemos $a_i \mid a_j^2+1$ .