Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ tales que $2^x + 3^y$ es un cuadrado perfecto.

Determinar todos los enteros positivos n tales que $n^2/ (n - 1)!$

Determinar todos los conjuntos de seis enteros positivos consecutivos tales que el producto de algunos dos de ellos añadido al producto de otros dos de ellos es igual al producto de los dos números restantes.

Un punto $P$ se encuentra en el interior del triángulo $ABC$. Las líneas $AP, BP$ y $CP$ intersecan a $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que si dos de los cuadriláteros $ABDE, BCEF, CAFD, AEPF, BFPD$ y $CDPE$ son concíclicos, entonces los seis son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$, con circuncírculo $ \Gamma$ y circuncentro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$. Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$. Sea la línea $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea el circuncírculo de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$. Demuestra que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

Considera el triángulo $ABC$ tal que $AB \le AC$. El punto $D$ en el arco $BC$ del circuncírculo de $ABC$ que no contiene al punto $A$ y el punto $E$ en el lado $BC$ son tales que $\angle BAD = \angle CAE < \frac12 \angle BAC$. Sea $S$ el punto medio del segmento $AD$. Si $\angle ADE = \angle ABC - \angle ACB$ demuestra que $\angle BSC = 2 \angle BAC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB$ es el lado más corto del triángulo. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ un punto interior del triángulo tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$. Denotemos por $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $AC$, respectivamente. Sea $p$ la línea que pasa por $M$ paralela a $AC$ y $q$ la línea que pasa por $N$ paralela a $BC$. Si $p$ y $q$ se intersecan en $K$ demuestra que $D$ es el circuncentro del triángulo $MNK$.

Dado un paralelogramo $ABCD$. La línea perpendicular a $AC$ que pasa por $C$ y la línea perpendicular a $BD$ que pasa por $A$ se intersecan en el punto $P$. El círculo con centro en el punto $P$ y radio $PC$ interseca la línea $BC$ en el punto $X$, ($X \ne C$) y la línea $DC$ en el punto $Y$, ($Y \ne C$). Demuestra que la línea $AX$ pasa por el punto $Y$.

Tenemos dos montones con $2000$ y $2017$ monedas respectivamente. Ann y Bob toman turnos alternados haciendo los siguientes movimientos: El jugador cuyo turno es mover elige un montón con al menos dos monedas, elimina de ese montón $t$ monedas para algún $2\le t \le 4$, y agrega al otro montón $1$ moneda. Los jugadores pueden elegir un $t$ diferente en cada turno, y el jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Si Ann juega primero, determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Considera un 2n-gono regular $ P$, $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Coloreamos los lados de $P$ en 3 colores diferentes (ignore los vértices de $P$, los consideramos incoloros), de tal manera que cada lado esté coloreado en exactamente un color, y cada color se use al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver puntos de como máximo 2 colores diferentes en $P$. Encuentra el número de coloraciones distintas de $P$ (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente).