6 En el triángulo \(ABC\), \(AB=13\), \(BC=14\), \(AC=15\), y el punto \(G\) es la intersección de las medianas. Los puntos \(A'\), \(B'\) y \(C'\) son las imágenes de \(A\), \(B\) y \(C\), respectivamente, después de una rotación de \(180^\circ\) alrededor de \(G\). ¿Cuál es el área de la unión de las dos regiones encerradas por los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\)?

7. El punto \(B\) está sobre \(\overline{AC}\) con \(AB = 9\) y \(BC = 21\). El punto \(D\) no está sobre \(\overline{AC}\) de modo que \(AD = CD\), y \(AD\) y \(BD\) son enteros. Sea \(s\) la suma de todos los perímetros posibles de \(\triangle ACD\). Encuentra \(s\).

8 En una secuencia creciente de cuatro enteros positivos, los primeros tres términos forman una progresión aritmética, los últimos tres términos forman una progresión geométrica, y el primer y cuarto término difieren en 30. Encuentra la suma de los cuatro términos.

10 El triángulo $ABC$ es isósceles con $AC = BC$ y $\angle ACB = 106^\circ$. El punto $M$ está en el interior del triángulo de modo que $\angle MAC = 7^\circ$ y $\angle MCA = 23^\circ$. Encuentra el número de grados en $\angle CMB$.

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $AC=7,$ $BC=24,$ y el ángulo recto en $C.$ El punto $M$ es el punto medio de $AB,$ y $D$ está en el mismo lado de la recta $AB$ que $C$ de modo que $AD=BD=15.$ Dado que el área del triángulo $CDM$ puede expresarse como $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m,$ $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos relativos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $m+n+p.$

Los miembros de un distinguido comité estaban eligiendo a un presidente, y cada miembro dio un voto a uno de los $27$ candidatos. Para cada candidato, el porcentaje exacto de votos que obtuvo fue menor en al menos $1$ que el número de votos para ese candidato. ¿Cuál es el número más pequeño posible de miembros del comité?

13 Un insecto comienza en un vértice de un triángulo equilátero. En cada movimiento, elige al azar uno de los dos vértices en los que no se encuentra actualmente, y se arrastra por un lado del triángulo hasta ese vértice. Dado que la probabilidad de que el insecto se mueva a su vértice inicial en su décimo movimiento es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n.$

14 Sea \(A=(0,0)\) y \(B=(b,2)\) puntos en el plano coordenado. Sea \(ABCDEF\) un hexágono equilátero convexo tal que \(\angle FAB=120^\circ,\) \(\overline{AB}\parallel \overline{DE},\) \(\overline{BC}\parallel \overline{EF,}\) \(\overline{CD}\parallel \overline{FA},\) y las coordenadas \(y\) de sus vértices son elementos distintos del conjunto \(\{0,2,4,6,8,10\}.\) El área del hexágono se puede escribir en la forma \(m\sqrt{n},\) donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos y \(n\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(m+n.\)

En el triángulo \( \triangle ABC \), \( AB = 360 \), \( BC = 507 \), y \( CA = 780 \). Sea \( M \) el punto medio de \( \overline{CA} \), y sea \( D \) el punto sobre \( \overline{CA} \) tal que \( \overline{BD} \) biseca al ángulo \( ABC \). Sea \( F \) el punto sobre \( \overline{BC} \) tal que \( \overline{DF} \perp \overline{BD} \). Supón que \( \overline{DF} \) interseca a \( \overline{BM} \) en \( E \). La razón \( DE:EF \) se puede escribir en la forma \( m/n \), donde \( m \) y \( n \) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \( m + n \).

Muchos estados usan una secuencia de tres letras seguida de una secuencia de tres dígitos como su patrón estándar de placas. Dado que cada arreglo de tres letras y tres dígitos es igualmente probable, la probabilidad de que una placa así contenga al menos un palíndromo (un arreglo de tres letras o un arreglo de tres dígitos que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda) es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.