7. Sea \( V \) un conjunto finito y \( g \) y \( f \) dos funciones inyectivas y sobreyectivas de \( V \) a \( V \). Sean \( T \) y \( S \) dos conjuntos definidos de la siguiente manera: \( S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\} \) y \( T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\} \). Sabemos que \( S \cup T = V \). Demuestra que para cada \( w \in V \), \( f(w) \in S \) si y solo si \( g(w) \in S \).

5. Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ -ada de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestra que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

1 Demuestra que la fracción $ \dfrac{21n + 4}{14n + 3}$ es irreducible para todo número natural $ n$ .

2 ¿Para qué valores reales de $x$ se cumple que \[ \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A \] dado a) $A=\sqrt{2}$ ; b) $A=1$ ; c) $A=2$ , donde solo se admiten números reales no negativos para las raíces cuadradas?

3 Sean \(a,b,c\) números reales. Considera la ecuación cuadrática en \(\cos{x}\) \[ a \cos^2{x}+b \cos{x}+c=0. \] Usando los números \(a,b,c\), forma una ecuación cuadrática en \(\cos{2x}\) cuyas raíces sean las mismas que las de la ecuación original. Compara la ecuación en \(\cos{x}\) y en \(\cos{2x}\) para \(a=4\), \(b=2\), \(c=-1\).

4 Construye un triángulo rectángulo con hipotenusa dada \(c\) tal que la mediana trazada hacia la hipotenusa sea la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

5 Se selecciona un punto arbitrario \( M \) en el interior del segmento \( AB \). Se construyen los cuadrados \( AMCD \) y \( MBEF \) sobre el mismo lado de \( AB \), con los segmentos \( AM \) y \( MB \) como sus respectivas bases. Los círculos circunscritos a estos cuadrados, con centros \( P \) y \( Q \), se intersecan en \( M \) y también en otro punto \( N \). Sea \( N' \) el punto de intersección de las rectas \( AF \) y \( BC \). a) Demuestra que \( N \) y \( N' \) coinciden; b) Demuestra que las rectas \( MN \) pasan por un punto fijo \( S \) independiente de la elección de \( M \); c) Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \( PQ \) a medida que \( M \) varía entre \( A \) y \( B \).

6 Dos planos, $P$ y $Q$, se intersecan a lo largo de la recta $p$. El punto $A$ está dado en el plano $P$, y el punto $C$ en el plano $Q$; ninguno de estos puntos se encuentra sobre la recta $p$. Construye un trapecio isósceles $ABCD$ (con $AB \parallel CD$) en el que se pueda inscribir un círculo, y con los vértices $B$ y $D$ situados en los planos $P$ y $Q$ respectivamente.

1 Determina todos los números de tres dígitos $N$ que tienen la propiedad de que $N$ es divisible por 11, y $\dfrac{N}{11}$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

En un triángulo rectángulo dado $ABC$, la hipotenusa $BC$, de longitud $a$, se divide en $n$ partes iguales (siendo $n$ un entero impar). Sea $\alpha$ el ángulo agudo que subtiende, desde $A$, aquel segmento que contiene el punto medio de la hipotenusa. Sea $h$ la longitud de la altura relativa a la hipotenusa del triángulo. Demuestra que: \[ \tan{\alpha}=\dfrac{4nh}{(n^2-1)a}. \]