Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $AC$ tal que $AB=AD$ . Sea $E$ la intersección de la línea $AB$ con la línea perpendicular a $AO$ que pasa por $D$ . Sea $F$ la intersección de la línea perpendicular a $OC$ que pasa por $C$ con la línea paralela a $AC$ y que pasa por $E$ . Finalmente, sean las líneas $CE$ y $DF$ que se intersecan en $G$ . Demostrar que $AG$ y $BF$ son paralelas.

Dados $n \ge 2$ puntos en un círculo, Alicia y Bob juegan el siguiente juego. Inicialmente, una ficha se coloca en uno de los puntos y no se dibuja ningún segmento. Los jugadores se alternan en turnos, comenzando Alicia. En un turno, un jugador mueve la ficha desde su posición actual $P$ a uno de los $n-1$ otros puntos $Q$ y dibuja el segmento $PQ$ . Este movimiento no está permitido si el segmento $PQ$ ya está dibujado. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y el oponente gana. Determinar, para cada $n$ , cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

Encontrar el entero más grande $k$ con la siguiente propiedad: Siempre que los números reales $x_1,x_2,\dots,x_{2024}$ satisfacen\n\[x_1^2=(x_1+x_2)^2=\dots=(x_1+x_2+\dots+x_{2024})^2,\]\nal menos $k$ de ellos son iguales.

El área de un pentágono convexo $ABCDE$ es $S$ , y los circunradios de los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDE$ , $DEA$ , $EAB$ son $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ , $R_5$ . Demostrar la desigualdad \[ R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq {4\over 5\sin^2 108^\circ}S^2. \]

Sea $ A_n $ el conjunto de particiones de la secuencia $ 1,2,..., n $ en varias subsecuencias tales que cada dos términos vecinos de cada subsecuencia tienen diferente paridad, y $ B_n $ el conjunto de particiones de la secuencia $ 1,2,..., n $ en varias subsecuencias tales que todos los términos de cada subsecuencia tienen la misma paridad (por ejemplo, la partición $ {(1,4,5,8),(2,3),(6,9),(7)} $ es un elemento de $ A_9 $ , y la partición $ {(1,3,5),(2,4),(6)} $ es un elemento de $ B_6 $ ). Demostrar que para cada entero positivo $ n $ los conjuntos $ A_n $ y $ B_{n+1} $ contienen el mismo número de elementos.

Determinar el máximo entero $ n $ tal que para cada entero positivo $ k \le \frac{n}{2} $ hay dos divisores positivos de $ n $ con diferencia $ k $ .

Hallar todas las funciones $ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tales que $ f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy) $ , para todo $ x,y \in \mathbb{R} $ .

Dentro del triángulo $ ABC $ se da un punto $ M $ . La línea $ BM $ se encuentra con el lado $ AC $ en $ N $ . El punto $ K $ es simétrico a $ M $ con respecto a $ AC $ . La línea $ BK $ se encuentra con $ AC $ en $ P $ . Si $ \angle AMP = \angle CMN $ , demostrar que $ \angle ABP=\angle CBN $ .

Cada punto con coordenadas enteras en el plano está coloreado de blanco o azul. Demostrar que se puede elegir un color tal que para cada entero positivo $ n $ exista un triángulo de área $ n $ que tenga sus vértices del color elegido.

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que $f(x+yf(x)) = xf(1+y)$ para todos los reales positivos x, y.