5 Ann y Max juegan un juego en un tablero de $100 \times 100$ . Primero, Ann escribe un entero del 1 al 10 000 en cada casilla del tablero de modo que cada número se use exactamente una vez. Luego Max elige una casilla en la columna más a la izquierda y coloca una ficha en esa casilla. Hace una serie de movimientos para llegar a la columna más a la derecha. En cada movimiento, la ficha se mueve a una casilla adyacente por lado o por vértice. Por cada casilla visitada (incluida la inicial), Max le paga a Ann un número de monedas igual al número escrito en esa casilla. Max quiere pagar lo menos posible, mientras que Ann quiere escribir los números de tal manera que maximice la cantidad que recibirá. ¿Cuánto dinero le pagará Max a Ann si ambos jugadores siguen sus mejores estrategias? Lev Shabanov

6 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Suponga que $P$ es el punto sobre el arco menor $DE$ de la circunferencia inscrita tal que $\angle APE = \angle DPB$ . Los segmentos $AP$ y $BP$ cortan al segmento $DE$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que $2KL = DE$ . Dušan Djukić

2 Se eligen puntos $P$ y $Q$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ de modo que $P$ se encuentre entre $B$ y $Q$ . Los rayos $AP$ y $AQ$ dividen el ángulo $BAC$ en tres partes iguales. Se sabe que el triángulo $APQ$ es acutángulo. Denote por $B_1,P_1,Q_1,C_1$ las proyecciones de los puntos $B,P,Q,C$ sobre las rectas $AP,AQ,AP,AQ$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $B_1P_1$ y $C_1Q_1$ se cortan sobre la recta $BC$ .

3 Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ( $n\geq 2$ ) números reales no negativos cuya suma es $\frac{n}{2}$ . Para cada $i=1,\ldots,n$ defina $$b_i=a_i+a_ia_{i+1}+a_ia_{i+1}a_{i+2}+\cdots+ a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-2}+2a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}$$ donde $a_{j+n}=a_j$ para todo $j$ . Demuestre que $b_i\geq 1$ se cumple para al menos un índice $i$ .

4 Se dan seis números reales $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6$ . Para cada terna de números distintos de esos seis, Vitya calculó su suma. Resultó que las $20$ sumas son distintas dos a dos; denote esas sumas por $$s_1<s_2<s_3<\cdots<s_{19}<s_{20}.$$ Se sabe que $x_2+x_3+x_4=s_{11}$ , $x_2+x_3+x_6=s_{15}$ y $x_1+x_2+x_6=s_{m}$ . Halle todos los valores posibles de $m$ .

5 Hay una caja fuerte que puede abrirse introduciendo un código secreto formado por $n$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$ . Inicialmente se introdujeron $n$ ceros y la caja fuerte está cerrada (es decir, todos ceros no es el código secreto). En un intento, se puede introducir una secuencia arbitraria de $n$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$ . Si la secuencia introducida coincide con el código secreto, la caja fuerte se abrirá. Si la secuencia introducida coincide con el código secreto en más posiciones que la secuencia introducida anteriormente, se escuchará un clic. En cualquier otro caso, la caja fuerte permanecerá cerrada y no habrá clic. Halle el menor número de intentos que es suficiente para abrir la caja fuerte en todos los casos.

6 Sea $ABCD$ un tetraedro y suponga que $M$ es un punto interior a él tal que $\angle MAD=\angle MBC$ y $\angle MDB=\angle MCA$ . Demuestre que $$MA\cdot MB+MC\cdot MD<\max(AD\cdot BC,AC\cdot BD).$$

2 Resuelva la ecuación $a + b + 4 = 4\sqrt{a\sqrt{b}}$ en números reales

4 Sea \(ABC\) un triángulo y sea \(\Gamma\) su circuncírculo. Sean \(X\) , \(Y\) y \(Z\) los puntos medios de los arcos \(BC\) , \(CA\) y \(AB\) de \(\Gamma\) , respectivamente, que no contienen el tercer vértice del triángulo. La intersección de los triángulos \(ABC\) y \(XYZ\) forma un hexágono \(DEFGHK\) . Demuestre que las rectas \(DG\) , \(EH\) y \(FK\) son concurrentes.

En una habitación hay varios niños y un montón de 1000 dulces. Los niños se acercan al montón uno tras otro en algún orden. Al llegar al montón, cada uno de ellos divide el número actual de dulces del montón por el número de niños de la habitación, redondea el resultado si no es entero, toma del montón el número de dulces resultante y abandona la habitación. Todos los niños varones redondean hacia arriba y todas las niñas redondean hacia abajo. El proceso continúa hasta que todos abandonan la habitación. Demuestre que el número total de dulces recibidos por los varones no depende del orden en que los niños se acercan al montón. Maxim Didin