Dados $2021$ enteros positivos distintos no divisibles por $2^{1010}$, demuestra que siempre es posible elegir $3$ de ellos $a$, $b$ y $c$, tales que $|b^2-4ac|$ no sea un cuadrado perfecto.

Ari y Beri juegan un juego usando una baraja de $2020$ cartas con exactamente una carta con cada número del $1$ al $2020$. Ari recibe una carta con un número $a$ y la retira de la baraja. Beri ve la carta, elige otra carta de la baraja con un número $b$ y la retira de la baraja. Luego, Beri escribe en el tablero exactamente uno de los trinomios $x^2-ax+b$ o $x^2-bx+a$ de su elección. Este proceso continúa hasta que no queden cartas en la baraja. Si al final del juego cada trinomio escrito en el tablero tiene soluciones enteras, Beri gana. De lo contrario, Ari gana. Demuestra que Beri siempre puede ganar, sin importar cómo juegue Ari.

En un tablero de $3 \times 25$, se colocan piezas de $1 \times 3$ (vertical u horizontalmente) de modo que ocupen enteramente 3 casillas del tablero y no se toquen en ningún punto. ¿Cuál es el número máximo de piezas que se pueden colocar y, para ese número, cuántas configuraciones hay?

Determina las progresiones geométricas crecientes, con tres términos enteros, tales que la suma de estos términos es $57$

Determina los pares de números enteros positivos $m$ y $n$ que satisfacen la ecuación $m^2=n^2 +m+n+2018$ .

Para cada entero positivo $n$ , sea $S(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Determina el entero positivo más pequeño $a$ tal que haya infinitos enteros positivos $n$ para los cuales tengas $S (n) -S (n + a) = 2018$ .

En un triángulo $ABC$, recto en $A$ e isósceles, sea $D$ un punto en el lado $AC$ ( $A \ne D \ne C$ ) y $E$ sea el punto en la extensión de $BA$ tal que el triángulo $ADE$ es isósceles. Sea $P$ el punto medio del segmento $BD$ , $R$ sea el punto medio del segmento $CE$ y $Q$ el punto de intersección de $ED$ y $BC$ . Demuestra que el cuadrilátero $ARQP$ es un cuadrado.

Rellene las esquinas del cuadrado, de modo que la suma de los números en cada una de las $5$ líneas del cuadrado sea la misma y la suma de las cuatro esquinas sea $123$.

Sea $N$ un polígono convexo con 1415 vértices y perímetro 2001. Demostrar que podemos encontrar 3 vértices de $N$ que forman un triángulo de área menor que 1.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $D$, $E$ puntos en los lados $[AB]$ y $[AC]$ respectivamente. Si $DF$, $EF$ (con $F\in AE$, $G\in AD$) son las bisectrices del ángulo interior de los ángulos del triángulo $ADE$, demostrar que la suma de las áreas de los triángulos $DEF$ y $DEG$ es como máximo igual al área del triángulo $ABC$. ¿Cuándo se cumple la igualdad?