Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C = 90^\circ$ y $CA \neq CB$. Sea $CH$ una altitud y $CL$ una bisectriz del ángulo interior. Demostrar que para $X \neq C$ en la línea $CL$, tenemos $\angle XAC \neq \angle XBC$. También demostrar que para $Y \neq C$ en la línea $CH$ tenemos $\angle YAC \neq \angle YBC$.

Resolver la ecuación $a^3+b^3+c^3=2001$ en enteros positivos.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Para empezar, Alice ordena los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra se puede colocar en el número $k$ a lo sumo $k$ veces. Los dos jugadores se turnan comenzando con Alice. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$ , determina quién tiene una estrategia ganadora.

Halla los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

Sean $r_2, r_3,\ldots, r_{1000}$ los residuos cuando un entero positivo impar se divide por $2,3,\ldots,1000$ , respectivamente. Se sabe que los residuos son distintos dos a dos y uno de ellos es $0$ . Halla todos los valores de $k$ para los cuales es posible que $r_k = 0$ .

Halla todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(x+y)=f(x)+f(y) \] para todo $x,y\in\mathbb{N}$ satisfaciendo $10^6-\frac{1}{10^6} < \frac{x}{y} < 10^6+\frac{1}{10^6}$ . \nNota: $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los enteros positivos y $\mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales.

El triángulo acutángulo $ABP$ , donde $AB > BP$ , tiene alturas $BH$ , $PQ$ , y $AS$ . Sea $C$ la intersección de las líneas $QS$ y $AP$ , y sea $L$ la intersección de las líneas $HS$ y $BC$ . Si $HS = SL$ y $HL$ es perpendicular a $BC$ , halla el valor de $\frac{SL}{SC}$ .

Sean $a$ , $b$ , $c$ , y $d$ enteros positivos distintos tales que $a^b$ divide a $b^c$ , $b^c$ divide a $c^d$ , y $c^d$ divide a $d^a$ . \n(a) ¿Es posible determinar cuál de los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es el más pequeño? \n(b) ¿Es posible determinar cuál de los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es el más grande?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ a $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestra que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos.

Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, comenzando Alice primero. Inicialmente la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no esté escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntaje es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntaje es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntaje es mayor que el puntaje de Bob, Bob gana si su puntaje es mayor que el puntaje de Alice, de lo contrario nadie gana. Encuentra si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y si es así, qué jugador tiene una estrategia ganadora.