La sucesión $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ está definida por $x_1=x_2=1$ , $x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n-4$ para cada $n\in\mathbb N$ . Demuestre que todos los términos de esta sucesión son cuadrados perfectos.

Sea $E$ un punto sobre la mediana $AD$ de un triángulo $ABC$ , y sea $F$ la proyección de $E$ sobre $BC$ . Desde un punto $M$ sobre $EF$ se trazan las perpendiculares $MN$ a $AC$ y $MP$ a $AB$ . Demuestre que si los puntos $N,E,P$ están sobre una recta, entonces $M$ se encuentra sobre la bisectriz de $\angle BAC$ .

Sea $\Delta$ el conjunto de todos los triángulos inscritos en una circunferencia dada, con ángulos cuyas medidas son números enteros de grados distintos de $45^\circ,90^\circ$ y $135^\circ$ . Para cada triángulo $T\in\Delta$ , $f(T)$ denota el triángulo cuyos vértices son los segundos puntos de intersección de las alturas de $T$ con la circunferencia. (a) Demuestre que existe un número natural $n$ tal que para todo triángulo $T\in\Delta$ , entre los triángulos $T,f(T),\ldots,f^n(T)$ (donde $f^0(T)=T$ y $f^k(T)=f(f^{k-1}(T))$ ) al menos dos son iguales. (b) Halle el menor $n$ con la propiedad de (a).

Halle el menor número natural $n$ para el cual el número $n^2-n+11$ tiene exactamente cuatro factores primos (no necesariamente distintos).

Sea $f(x)$ un polinomio cuadrático con dos raíces reales en el intervalo $[-1,1]$ . Demuestre que si el valor máximo de $|f(x)|$ en el intervalo $[-1,1]$ es igual a $1$ , entonces el valor máximo de $|f'(x)|$ en el intervalo $[-1,1]$ no es menor que $1$ .

Se da un tetraedro regular de arista unitaria. Halle el volumen del cubo maximal contenido en el tetraedro, uno de cuyos vértices se encuentra en el pie de una altura del tetraedro.

Halle el menor entero $n\ge3$ para el cual existe un $n$ - gono y un punto en su interior tal que, si se coloca una bombilla en ese punto, en cada lado del polígono habrá un punto que no queda iluminado. Demuestre que para este valor mínimo de $n$ siempre existen dos puntos dentro del $n$ - gono tales que las bombillas colocadas en esos puntos iluminan todo el perímetro del $n$ - gono.

Sea $A$ un punto fijo sobre una circunferencia $k$ . Sea $B$ un punto cualquiera de $k$ y $M$ un punto tal que $AM:AB=m$ y $\angle BAM=\alpha$ , donde $m$ y $\alpha$ están dados. Halle el lugar geométrico del punto $M$ cuando $B$ recorre la circunferencia $k$ .

Sea $0<k<1$ un número real dado y sea $(a_n)_{n\ge1}$ una sucesión infinita de números reales que satisface $a_{n+1}\le\left(1+\frac kn\right)a_n-1$ . Demuestre que existe un índice $t$ tal que $a_t<0$ .

Sea $f(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros y sean $n,k$ números naturales. Demuestre que existen $n$ números naturales consecutivos $a,a+1,\ldots,a+n-1$ tales que los números $f(a),f(a+1),\ldots,f(a+n-1)$ tienen todos al menos $k$ factores primos. (Decimos que el número $p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_s}$ tiene $\alpha_1+\ldots+\alpha_s$ factores primos.)