Encontrar cuatro enteros positivos, cada uno sin exceder $70000$ y cada uno teniendo más de $100$ divisores.

Sea $d$ cualquier entero positivo no igual a $2, 5$ o $13$ . Demostrar que se pueden encontrar distintos $a,b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tal que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Dado la ecuación $xyz = p^n(x + y + z)$ donde $p \geq 3$ es un primo y $n \in \mathbb{N}$ . Demostrar que la ecuación tiene al menos $3n + 3$ soluciones diferentes $(x,y,z)$ con números naturales $x,y,z$ y $x < y < z$ . Demostrar lo mismo para $p > 3$ siendo un entero impar.

Sean $A, B$ y $C$ tres puntos en el borde de una cuerda circular tal que $B$ está al oeste de $C$ y $ABC$ es un triángulo equilátero cuyo lado mide $86$ metros. Un niño nadó desde $A$ directamente hacia $B$. Después de recorrer una distancia de $x$ metros, se giró y nadó hacia el oeste, llegando a la orilla después de recorrer una distancia de $y$ metros. Si $x$ e $y$ son enteros positivos, determine $y$.

Sea $f(x) = x^n$ donde $n$ es un entero positivo fijo y $x =1, 2, \cdots .$ ¿Es la expansión decimal $a = 0.f (1)f(2)f(3) . . .$ racional para cualquier valor de $n$ ? La expansión decimal de a se define de la siguiente manera: Si $f(x) = d_1(x)d_2(x) \cdots d_{r(x)}(x)$ es la expansión decimal de $f(x)$ , entonces $a = 0.1d_1(2)d_2(2) \cdots d_{r(2)}(2)d_1(3) . . . d_{r(3)}(3)d_1(4) \cdots .$

Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$-ágono regular ($n\ge5$) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, que es congruente con $OAB$ e inicialmente coincide con él, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ trazan todo el borde del polígono, con $X$ permaneciendo dentro del polígono. Hallar el lugar geométrico de $X$.

Un tablero cuadrado de $4$ x $4$ se llama $brasuca$ si cumple todas las condiciones: • cada casilla contiene uno de los números $0, 1, 2, 3, 4$ o $5$; • la suma de los números en cada línea es $5$; • la suma de los números en cada columna es $5$; • la suma de los números en cada diagonal de cuatro cuadrados es $5$; • el número escrito en la casilla superior izquierda del tablero es menor o igual que los demás números del tablero; • al dividir el tablero en cuatro cuadrados de $2$ × $2$, en cada uno de ellos la suma de los cuatro números es $5$. ¿Cuántos tableros $brasucas$ hay?

Hay una pila con $15$ monedas sobre una mesa. En cada paso, Pedro elige una de las pilas en la mesa con $a>1$ monedas y la divide en dos pilas con $b\geq1$ y $c\geq1$ monedas y escribe en el tablero el producto $abc$. Continúa hasta que haya $15$ pilas con $1$ moneda cada una. Determine todos los valores posibles que puede tener la suma final de los números en el tablero.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno agudo. $D$ y $E$ son puntos variables en las semirrectas $AB$ y $AC$ (con origen en $A$) tales que el simétrico de $A$ sobre $DE$ se encuentra en $BC$. Sea $P$ la intersección de los círculos con diámetro $AD$ y $AE$. Encuentra el lugar geométrico de $P$ al variar el segmento de línea $DE$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AC<BC$ y $\omega$ su circuncírculo. $M$ es el punto medio de $BC$. Se eligen los puntos $F$ y $E$ en $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AC=CF$ y $EB=EF$. La línea $AM$ interseca a $\omega$ en $D\neq A$. La línea $DE$ interseca a la línea $FM$ en $G$. Demuestra que $G$ se encuentra en $\omega$.