5 Un entero $n\ge1$ es bueno si se satisface la siguiente propiedad: Si un entero positivo es divisible por cada uno de los nueve números $n + 1, n + 2, ..., n + 9$ , también es divisible por $n + 10$ . ¿Cuántos enteros buenos $n\ge 1$ hay?

1 Determine el mayor valor posible de la expresión $ab+bc+ 2ac$ para números reales no negativos $a, b, c$ cuya suma es $1$ .

2 El número $2022$ está escrito en la pizarra. En cada paso, reemplazamos uno de los $2$ dígitos por el número $2022$ . Por ejemplo $$2022 \Rightarrow 2020222 \Rightarrow 2020220222 \Rightarrow ...$$ ¿Después de cuántos pasos puede quedar escrito en la pizarra un número divisible por $22$ ? Especifique todas las opciones.

3 Los puntos $D, E, F$ están respectivamente sobre los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ del triángulo ABC tales que $F B = BD$ , $DC = CE$ , y las rectas $EF$ y $BC$ son paralelas. La tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ en el punto $F$ interseca a la recta $AD$ en el punto $P$ . La mediatriz del segmento $EF$ interseca al segmento $AC$ en $Q$ . Demuestre que las rectas $P Q$ y $BC$ son paralelas.

3 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Llamamos a un entero no negativo número $r$ - Fibonacci si es una suma de $r$ números de Fibonacci (no necesariamente distintos). Muestre que hay infinitos enteros positivos que no son números $r$ - Fibonacci para ningún $r, 1 \leq r\leq 5.$ N.T.TUAN

4 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que $F_{n-1}F_{n}F_{n+1}L_{n-1}L_{n}L_{n+1}(n \geq 2)$ no es un cuadrado perfecto. N.T.TUAN

5 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, \] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Muestre que $L_{2n+1}+(-1)^{n+1}(n \geq 1)$ puede escribirse como producto de tres números de Fibonacci (no necesariamente distintos). N.T.TUAN

6 Examinamos las siguientes dos sucesiones: la sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; la sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Es sabido que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, \] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Las coordenadas de todos los vértices de un rectángulo dado son números de Fibonacci. Supongamos que el rectángulo no es tal que uno de sus vértices esté sobre el eje $x$ y otro sobre el eje $y$ . Demuestre que los lados del rectángulo son paralelos a los ejes, o forman un ángulo de $45^{\circ}$ con los ejes. N.T.TUAN

3 Halle todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que: $7^x+x^4+47=y^2$

2 En la circunferencia $k$ se dan los puntos $A,B$ , donde $AB$ no es un diámetro de la circunferencia $k$ . El punto $C$ se mueve a lo largo del arco mayor $AB$ de la circunferencia $k$ de modo que el triángulo $ABC$ sea acutángulo. Sean $D,E$ los pies de las alturas trazadas desde $A, B$ , respectivamente. Sea $F$ la proyección del punto $D$ sobre la recta $AC$ y $G$ la proyección del punto $E$ sobre la recta $BC$ . (a) Demuestre que las rectas $AB$ y $FG$ son paralelas. (b) Determine el conjunto de los puntos medios $S$ del segmento $FG$ al recorrer todas las posiciones permitidas del punto $C$ .