2018 g10 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y ortocentro $H$ , tal que $AB <AC$ . Sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $A, B$ y $C$ a los lados opuestos respectivamente. Considere $M$ el punto medio del lado $BC$ . La circunferencia de diámetro $AH$ interseca a $\Gamma$ en el punto $P$ y al segmento $AM$ en el punto $Q$ . Demuestre que los triángulos $PDQ$ y $DEF$ comparten la misma circunferencia inscrita si y solo si $AB = AM$ .

2018 g9 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ (los vértices se han tomado en sentido antihorario). Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ . Sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $AD$ y $DE$ son las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ADC$ . Considere el punto $F$ como la intersección entre la recta $DE$ y $\Gamma$ , ubicado en el mismo semiplano que $ A$ con respecto a la recta $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $CDF$ interseca al segmento $CA$ en $G$ y es tangente a $AD$ . Suponga que las rectas $AD$ y $GM$ se intersecan sobre $\Gamma$ . Demuestre que $\Gamma$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADM$ y $EFG$ se intersecan sobre la recta $GM$ .

2018 g8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ , y sea $D$ el punto medio del segmento $OA$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$ corta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, con $E \ne B$ y $F \ne C$ . Suponga que las rectas $OF$ y $AB$ se intersecan en $G$ , y que las rectas $OE$ y $AC$ se intersecan en $H$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $GDH$ interseca nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Demuestre que $A$ y los puntos de intersección de $MN$ con $GH$ y de $AB$ con $EF$ son colineales. Redacción alternativa: Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ , y sea $D$ el punto medio del segmento $ OA$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$ corta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, con $E \ne B$ y $F \ne C$ . Suponga que las rectas $OF$ y $AB$ se intersecan en $G$ , y que las rectas $OE$ y $AC$ se intersecan en $H$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $GDH$ interseca nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Sea $J$ el otro punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF$ y $ABC$ . Demuestre que $A$ , $J$ y el punto de intersección de $MN$ con $GH$ son colineales.

11 El cúmulo estelar JMO inicialmente consta de cinco estrellas $O,A,B,C,D$. A cada estrella se le asigna un valor llamado su "importancia". La importancia de $O$ es $0$, y la importancia de cada una de $A,B,C,D$ es $1$. Hay vuelos directos de un solo sentido como sigue: de $O$ a $A$ y $C$; de $A$ a $B$ y $D$; de $B$ a $O$; de $C$ a $B$ y $D$; de $D$ a $O$. No hay otros vuelos directos. Para evitar el deterioro, se realiza repetidamente la siguiente operación: $1.$ Se eliminan todos los vuelos directos existentes, y se destruyen todas las estrellas. $2.$ Para cada vuelo directo eliminado $f$, se crea una nueva estrella $S_f$. Su importancia se define como la suma de las importancias de la estrella de salida y la estrella de llegada de $f$. $3.$ Para cada par ordenado $(f,f')$ de vuelos directos eliminados tal que la estrella de llegada de $f$ coincide con la estrella de salida de $f'$, se establece un vuelo directo de un solo sentido desde $S_f$ a $S_{f'}$. Encuentra la importancia total de las estrellas creadas en la operación número $100$.

2018 g7 Dos circunferencias $S_1$ y $S_2$ tienen centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, no se intersecan y ninguna está dentro de la otra. La recta $\ell_1$ es tangente a $S_1$ en $A$ y a $S_2$ en $ B$ , y no interseca al segmento $O_1O_2$ . La recta $\ell_2$ es tangente a $S_1$ en $C$ y a $S_2$ en $D$ , e interseca al segmento $O_1O_2$ . Demuestre que las rectas $AC$ , $BD$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

2018 g6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB \ne AC$ . Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de $BH$ y $CH$ con las rectas $AC$ y $AB$ respectivamente, y sea $P$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ sobre $DE$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BPC$ interseca a $DE$ en un punto $Q \ne P$ . Demuestre que las rectas $AP$ y $QH$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

. Compare los números $A=\frac{1}{99}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{99}\right)$ y $B=\frac{1}{100}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{100}\right)$ . P2. ¿Cuántos nueves aparecen en la representación decimal del número ${\underbrace{999\ldots9}_{100\text{ digits}}}^{3}$ ? P3. Considere un paralelogramo $ABCD$ . (a) ¿Es cierto que si el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ está sobre la diagonal $BD$ , entonces $ABCD$ es un rombo? (b) ¿Es cierto que si el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ está sobre la diagonal $BD$ , entonces $ABCD$ es un rombo? P4. Demuestre que si para los enteros $x$ y $y$ el número $x^{2}+3xy+y^{2}$ es divisible por $25$ , entonces tanto $x$ como $y$ son divisibles por $5$ . P5. Ayer, el número de niños en un patio de juegos era una vez y media el número de niñas. Hoy, el número de niños es igual al cuadrado del número de niñas; además, el número de niños disminuyó en $6$ , y el número de niñas disminuyó en $7$ en comparación con ayer. ¿Cuántos niños había en el patio de juegos ayer? P6. Demuestre que para todos los números naturales $n$ se cumple la identidad $1\cdot1!+2\cdot2!+\ldots+n\cdot n!=(n+1)!-1$ . (Aquí $k!=1\cdot2\cdots k$ . )

. ¿Es el número $1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots+2^{77}$ divisible por $7$ ? P2. Se sabe que para los números reales $a, b, c$ se cumple la igualdad $(a+b+c)^{2}=3(ab+bc+ca)$ . Demuestre que $a=b=c$ . P3. Un niño corre cada día $a$ o $b$ kilómetros, donde $a$ y $b$ son números naturales y $a>b$ . Puede correr exactamente $100$ kilómetros en $9$ o $11$ días, pero no puede hacerlo en $10$ días. Encuentre todos los valores posibles de $a$ y $b$ . P4. ¿Cuántos números naturales de dos dígitos tienen la propiedad de que la suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto? P5. Un estudiante de octavo grado afirma que puede cortar cualquier cuadrado en diez cuadrados más pequeños (algunos de los cuales pueden ser congruentes). ¿Tiene razón? P6. Se sabe que $x+y=4$ y $x^{2}+y^{2}=10$ . Encuentre el valor de $x^{4}+y^{4}$ .

2018 g5.2 Sea $\Delta ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$ . Sea $T$ el simétrico de $C$ respecto a $O$ y sea $T'$ la reflexión de $T$ respecto a la recta $AB$ . La recta $BT'$ interseca nuevamente a $\omega$ en $R$ . La perpendicular a $CT$ trazada por $O$ interseca a la recta $AC$ en $L$ . Sea $N$ la intersección de las rectas $TR$ y $AC$ . Demuestre que $\overline{CN}=2\overline{AL}$ .

2018 g4 Sobre la circunferencia de centro $O$ y diámetro $AB$ , se considera un punto $C$ en el rayo $AB$ , con $A$ entre $C$ y $B$ , tal que: $\frac{CO}{BO} =\frac{5}{4}.$ Sea $M$ el punto medio del segmento $AO$ . Suponga que $P$ es un punto sobre la circunferencia de centro $C$ y radio $CM$ , que no pertenece a la recta AB. Considere un punto $Q$ sobre la prolongación del segmento $PM$ tal que $M$ es el punto medio de $PQ$ . Demuestre que el triángulo $PBQ$ es rectángulo.