Cinco cubos vacíos idénticos de $2$ litros de capacidad se encuentran en los vértices de un pentágono regular. Cenicienta y su malvada madrastra pasan por una secuencia de rondas: Al comienzo de cada ronda, la madrastra toma un litro de agua del río cercano y lo distribuye arbitrariamente sobre los cinco cubos. Luego, Cenicienta elige un par de cubos vecinos, los vacía al río y los vuelve a colocar. Entonces comienza la siguiente ronda. El objetivo de la madrastra es hacer que uno de estos cubos se desborde. El objetivo de Cenicienta es evitar esto. ¿Puede la malvada madrastra forzar el desbordamiento de un cubo?

Para un entero $m\geq 1$ , consideramos particiones de un tablero de ajedrez de $2^m\times 2^m$ en rectángulos que consisten en celdas del tablero de ajedrez, en el que cada una de las $2^m$ celdas a lo largo de una diagonal forma un rectángulo separado de longitud lateral $1$ . Determine la suma más pequeña posible de los perímetros de los rectángulos en tal partición.

Sea $n$ un entero positivo. Dada una sucesión $\varepsilon_1$ , $\dots$ , $\varepsilon_{n - 1}$ con $\varepsilon_i = 0$ o $\varepsilon_i = 1$ para cada $i = 1$ , $\dots$ , $n - 1$ , las sucesiones $a_0$ , $\dots$ , $a_n$ y $b_0$ , $\dots$ , $b_n$ se construyen mediante las siguientes reglas: \[a_0 = b_0 = 1, \quad a_1 = b_1 = 7,\] \[\begin{array}{lll}\n\t a_{i+1} = \n\t \begin{cases}\n\t\t 2a_{i-1} + 3a_i, \\\n\t\t 3a_{i-1} + a_i, \n\t \end{cases} & \n\t \begin{array}{l} \n\t\t\t \text{si } \varepsilon_i = 0, \\\n\t\t\t \text{si } \varepsilon_i = 1, \end{array} \n\t & \text{para cada } i = 1, \dots, n - 1, \\\\n\t b_{i+1}= \n\t \begin{cases}\n\t\t 2b_{i-1} + 3b_i, \\\n\t\t 3b_{i-1} + b_i, \n\t \end{cases} & \n\t \begin{array}{l} \n\t\t\t \text{si } \varepsilon_{n-i} = 0, \\\n\t\t\t \text{si } \varepsilon_{n-i} = 1, \end{array} \n\t & \text{para cada } i = 1, \dots, n - 1.\n\t\end{array}\] Demuestre que $a_n = b_n$ .

Para cualquier entero $n\geq 2$ , sea $N(n)$ el número máximo de ternas $(a_i, b_i, c_i)$ , $i=1, \ldots, N(n)$ , que consisten en enteros no negativos $a_i$ , $b_i$ y $c_i$ tales que se satisfacen las siguientes dos condiciones: $a_i+b_i+c_i=n$ para todo $i=1, \ldots, N(n)$ , Si $i\neq j$ entonces $a_i\neq a_j$ , $b_i\neq b_j$ y $c_i\neq c_j$ Determine $N(n)$ para todo $n\geq 2$ .

Sea $ ABC$ un triángulo con $ AB = AC$ . Las bisectrices de $ \angle C AB$ y $ \angle AB C$ se encuentran con los lados $ B C$ y $ C A$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Sea $ K$ el incentro del triángulo $ ADC$ . Suponga que $ \angle B E K = 45^\circ$ . Encuentre todos los valores posibles de $ \angle C AB$ .

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sean $X$ , $Y$ y $Z$ los incentros de los triángulos $BIC$ , $CIA$ y $AIB$ , respectivamente. Sea el triángulo $XYZ$ equilátero. Pruebe que $ABC$ es equilátero también.

Sean los lados $AD$ y $BC$ del cuadrilátero $ABCD$ (tal que $AB$ no es paralelo a $CD$ ) se intersecan en el punto $P$ . Los puntos $O_1$ y $O_2$ son circuncentros y los puntos $H_1$ y $H_2$ son ortocentros de los triángulos $ABP$ y $CDP$ , respectivamente. Denotemos los puntos medios de los segmentos $O_1H_1$ y $O_2H_2$ por $E_1$ y $E_2$ , respectivamente. Pruebe que la perpendicular de $E_1$ sobre $CD$ , la perpendicular de $E_2$ sobre $AB$ y las líneas $H_1H_2$ son concurrentes.

Sea $P$ un polígono que es convexo y simétrico a algún punto $O$ . Pruebe que para algún paralelogramo $R$ que satisface $P\subset R$ tenemos \[\frac{|R|}{|P|}\leq \sqrt 2\] donde $|R|$ y $|P|$ denotan el área de los conjuntos $R$ y $P$ , respectivamente.

Sea $ ABC$ un triángulo con $ AB = AC$ . Las bisectrices de $ \angle C AB$ y $ \angle AB C$ se encuentran con los lados $ B C$ y $ C A$ en $ D$ y $ E$ , respectivamente. Sea $ K$ el incentro del triángulo $ ADC$ . Suponga que $ \angle B E K = 45^\circ$ . Encuentra todos los valores posibles de $ \angle C AB$ .

Suponga que $ s_1,s_2,s_3, \ldots$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tales que las sub-sucesiones \n$ s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots$ son ambas progresiones aritméticas. Demuestra que la sucesión $ s_1, s_2, s_3, \ldots$ es en sí misma una progresión aritmética.